Cálculo Ejemplos

$\frac{c x - d}{a x - b}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d b} [\frac{f (b)}{g (b)}]$ es $\frac{g (b) \frac{d}{d b} [f (b)] - f (b) \frac{d}{d b} [g (b)]}{{g (b)}^{2}}$ donde $f (b) = c x - d$ y $g (b) = a x - b$ .

$\frac{(a x - b) \frac{d}{d b} [c x - d] - (c x - d) \frac{d}{d b} [a x - b]}{{(a x - b)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $c x - d$ con respecto a $b$ es $\frac{d}{d b} [c x] + \frac{d}{d b} [- d]$ .

$\frac{(a x - b) (\frac{d}{d b} [c x] + \frac{d}{d b} [- d]) - (c x - d) \frac{d}{d b} [a x - b]}{{(a x - b)}^{2}}$

Paso 2.2

Como $c x$ es constante con respecto a $b$ , la derivada de $c x$ con respecto a $b$ es $0$ .

$\frac{(a x - b) (0 + \frac{d}{d b} [- d]) - (c x - d) \frac{d}{d b} [a x - b]}{{(a x - b)}^{2}}$

Paso 2.3

Como $- d$ es constante con respecto a $b$ , la derivada de $- d$ con respecto a $b$ es $0$ .

$\frac{(a x - b) (0 + 0) - (c x - d) \frac{d}{d b} [a x - b]}{{(a x - b)}^{2}}$

Paso 2.4

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{(a x - b) \cdot 0 - (c x - d) \frac{d}{d b} [a x - b]}{{(a x - b)}^{2}}$

Paso 2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $a x - b$ con respecto a $b$ es $\frac{d}{d b} [a x] + \frac{d}{d b} [- b]$ .

$\frac{(a x - b) \cdot 0 - (c x - d) (\frac{d}{d b} [a x] + \frac{d}{d b} [- b])}{{(a x - b)}^{2}}$

Paso 2.6

Como $a x$ es constante con respecto a $b$ , la derivada de $a x$ con respecto a $b$ es $0$ .

$\frac{(a x - b) \cdot 0 - (c x - d) (0 + \frac{d}{d b} [- b])}{{(a x - b)}^{2}}$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d b} [- b]$ .

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Paso 3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $b$ , la derivada de $- b$ con respecto a $b$ es $- \frac{d}{d b} [b]$ .

$\frac{(a x - b) \cdot 0 - (c x - d) (0 - \frac{d}{d b} [b])}{{(a x - b)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d b} [b^{n}]$ es $n b^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(a x - b) \cdot 0 - (c x - d) (0 - 1 \cdot 1)}{{(a x - b)}^{2}}$

Paso 3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(a x - b) \cdot 0 - (c x - d) (0 - 1)}{{(a x - b)}^{2}}$

Paso 4

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{(a x - b) \cdot 0 - (c x - d) \cdot - 1}{{(a x - b)}^{2}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a x \cdot 0 - b \cdot 0 - (c x - d) \cdot - 1}{{(a x - b)}^{2}}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a x \cdot 0 - b \cdot 0 + (- (c x) - - d) \cdot - 1}{{(a x - b)}^{2}}$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a x \cdot 0 - b \cdot 0 - (c x) \cdot - 1 - - d \cdot - 1}{{(a x - b)}^{2}}$

Paso 5.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.1.1

Multiplica $a x \cdot 0$ .

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Paso 5.4.1.1.1

Multiplica $0$ por $a$ .

$\frac{0 x - b \cdot 0 - (c x) \cdot - 1 - - d \cdot - 1}{{(a x - b)}^{2}}$

Paso 5.4.1.1.2

Multiplica $0$ por $x$ .

$\frac{0 - b \cdot 0 - (c x) \cdot - 1 - - d \cdot - 1}{{(a x - b)}^{2}}$

Paso 5.4.1.2

Multiplica $- b \cdot 0$ .

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Paso 5.4.1.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\frac{0 + 0 b - (c x) \cdot - 1 - - d \cdot - 1}{{(a x - b)}^{2}}$

Paso 5.4.1.2.2

Multiplica $0$ por $b$ .

$\frac{0 + 0 - (c x) \cdot - 1 - - d \cdot - 1}{{(a x - b)}^{2}}$

Paso 5.4.1.3

Multiplica $- c x \cdot - 1$ .

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Paso 5.4.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{0 + 0 + 1 c x - - d \cdot - 1}{{(a x - b)}^{2}}$

Paso 5.4.1.3.2

Multiplica $c$ por $1$ .

$\frac{0 + 0 + c x - - d \cdot - 1}{{(a x - b)}^{2}}$

Paso 5.4.1.4

Multiplica $- - d$ .

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Paso 5.4.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{0 + 0 + c x + 1 d \cdot - 1}{{(a x - b)}^{2}}$

Paso 5.4.1.4.2

Multiplica $d$ por $1$ .

$\frac{0 + 0 + c x + d \cdot - 1}{{(a x - b)}^{2}}$

Paso 5.4.1.5

Mueve $- 1$ a la izquierda de $d$ .

$\frac{0 + 0 + c x - 1 \cdot d}{{(a x - b)}^{2}}$

Paso 5.4.1.6

Reescribe $- 1 d$ como $- d$ .

$\frac{0 + 0 + c x - d}{{(a x - b)}^{2}}$

Paso 5.4.2

Combina los términos opuestos en $0 + 0 + c x - d$ .

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Paso 5.4.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0 + c x - d}{{(a x - b)}^{2}}$

Paso 5.4.2.2

Suma $0$ y $c x$ .

$\frac{c x - d}{{(a x - b)}^{2}}$

Paso 5.5

Reordena los términos.

$\frac{- d + c x}{{(- b + a x)}^{2}}$

Paso 5.6

Factoriza $- 1$ de $- d$ .

$\frac{- (d) + c x}{{(- b + a x)}^{2}}$

Paso 5.7

Factoriza $- 1$ de $c x$ .

$\frac{- (d) - (- c x)}{{(- b + a x)}^{2}}$

Paso 5.8

Factoriza $- 1$ de $- (d) - (- c x)$ .

$\frac{- (d - c x)}{{(- b + a x)}^{2}}$

Paso 5.9

Reescribe $- (d - c x)$ como $- 1 (d - c x)$ .

$\frac{- 1 (d - c x)}{{(- b + a x)}^{2}}$

Paso 5.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{d - c x}{{(- b + a x)}^{2}}$