Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}}}{x^{4}}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} x^{4}}$

Paso 1.2

Como el exponente $x^{2}$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{x^{2}}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{4}}$

Paso 1.3

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}}}{x^{4}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reordena los factores de $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Paso 3.4.2

Reordena los factores en $2 e^{x^{2}} x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{4 x^{3}}$

Paso 4

Reduce.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Factoriza $2$ de $2 x e^{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x e^{x^{2}})}{4 x^{3}}$

Paso 4.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.1

Factoriza $2$ de $4 x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x e^{x^{2}})}{2 (2 x^{3})}$

Paso 4.1.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x e^{x^{2}})}{2 (2 x^{3})}$

Paso 4.1.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{x e^{x^{2}}}{2 x^{3}}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{3}$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $x$ de $x e^{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (e^{x^{2}})}{2 x^{3}}$

Paso 4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.1

Factoriza $x$ de $2 x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (e^{x^{2}})}{x (2 x^{2})}$

Paso 4.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{x e^{x^{2}}}{x (2 x^{2})}$

Paso 4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}}}{2 x^{2}}$

Paso 5

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 5.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 5.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 x^{2}}$

Paso 5.1.2

Como el exponente $x^{2}$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{x^{2}}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 x^{2}}$

Paso 5.1.3

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 5.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}}}{2 x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

Paso 5.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 5.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

Paso 5.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 5.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

Paso 5.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

Paso 5.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

Paso 5.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}} (2 x)}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

Paso 5.3.4

Simplifica.

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Paso 5.3.4.1

Reordena los factores de $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

Paso 5.3.4.2

Reordena los factores en $2 e^{x^{2}} x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

Paso 5.3.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 5.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{2 (2 x)}$

Paso 5.3.7

Multiplica $2$ por $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{4 x}$

Paso 5.4

Reduce.

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Paso 5.4.1

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1.1

Factoriza $2$ de $2 x e^{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x e^{x^{2}})}{4 x}$

Paso 5.4.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.1.2.1

Factoriza $2$ de $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x e^{x^{2}})}{2 (2 x)}$

Paso 5.4.1.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x e^{x^{2}})}{2 (2 x)}$

Paso 5.4.1.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{x e^{x^{2}}}{2 x}$

Paso 5.4.2

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{x e^{x^{2}}}{2 x}$

Paso 5.4.2.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}}}{2}$

Paso 6

Como la función $e^{x^{2}}$ se acerca a $\infty$ , la constante positiva $\frac{1}{2}$ veces la función también se acerca a $\infty$ .

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Paso 6.1

Considera el límite con el múltiplo constante $\frac{1}{2}$ eliminado.

$lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}$

Paso 6.2

Como el exponente $x^{2}$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{x^{2}}$ se acerca a $\infty$ .

$\infty$