Cálculo Ejemplos

$y = 8 \sec (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 \sec (x)$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$f' (x) = 8 \sec (x) \tan (x)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 \sec (x) \tan (x)$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = \tan (x)$ .

$8 (\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Paso 2.3

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$8 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Paso 2.4

Multiplica $\sec (x)$ por $\sec^{2} (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.1

Multiplica $\sec (x)$ por $\sec^{2} (x)$ .

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Paso 2.4.1.1

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$8 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Paso 2.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$8 ({\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Paso 2.4.2

Suma $1$ y $2$ .

$8 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Paso 2.5

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$8 (\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Paso 2.6

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$8 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x))$

Paso 2.7

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$8 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x))$

Paso 2.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$8 (\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x))$

Paso 2.9

Suma $1$ y $1$ .

$8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x))$

Paso 2.10

Simplifica.

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Paso 2.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$8 \sec^{3} (x) + 8 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

Paso 2.10.2

Reordena los términos.

$f'' (x) = 8 \tan^{2} (x) \sec (x) + 8 \sec^{3} (x)$