Cálculo Ejemplos

$8^{x} = \frac{5^{x + 2}}{3}$

Paso 1

Resta el logaritmo de ambos lados de la ecuación.

$\ln (8^{x}) = \ln (\frac{5^{x + 2}}{3})$

Paso 2

Expande $\ln (8^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (8) = \ln (\frac{5^{x + 2}}{3})$

Paso 3

Reescribe $\ln (\frac{5^{x + 2}}{3})$ como $\ln (5^{x + 2}) - \ln (3)$ .

$x \ln (8) = \ln (5^{x + 2}) - \ln (3)$

Paso 4

Expande $\ln (5^{x + 2})$ ; para ello, mueve $x + 2$ fuera del logaritmo.

$x \ln (8) = (x + 2) \ln (5) - \ln (3)$

Paso 5

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1.1

Simplifica $(x + 2) \ln (5) - \ln (3)$ .

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Paso 5.1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \ln (8) = x \ln (5) + 2 \ln (5) - \ln (3)$

Paso 5.1.1.1.2

Simplifica $2 \ln (5)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$x \ln (8) = x \ln (5) + \ln (5^{2}) - \ln (3)$

Paso 5.1.1.1.3

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$x \ln (8) = x \ln (5) + \ln (25) - \ln (3)$

Paso 5.1.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (8) = x \ln (5) + \ln (\frac{25}{3})$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$x \ln (8) - x \ln (5) - \ln (\frac{25}{3}) = 0$

Paso 5.3

Suma $\ln (\frac{25}{3})$ a ambos lados de la ecuación.

$x \ln (8) - x \ln (5) = \ln (\frac{25}{3})$

Paso 5.4

Factoriza $x$ de $x \ln (8) - x \ln (5)$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $x$ de $x \ln (8)$ .

$x (\ln (8)) - x \ln (5) = \ln (\frac{25}{3})$

Paso 5.4.2

Factoriza $x$ de $- x \ln (5)$ .

$x (\ln (8)) + x (- 1 \ln (5)) = \ln (\frac{25}{3})$

Paso 5.4.3

Factoriza $x$ de $x (\ln (8)) + x (- 1 \ln (5))$ .

$x (\ln (8) - 1 \ln (5)) = \ln (\frac{25}{3})$

Paso 5.5

Reescribe $- 1 \ln (5)$ como $- \ln (5)$ .

$x (\ln (8) - \ln (5)) = \ln (\frac{25}{3})$

Paso 5.6

Divide cada término en $x (\ln (8) - \ln (5)) = \ln (\frac{25}{3})$ por $\ln (8) - \ln (5)$ y simplifica.

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Paso 5.6.1

Divide cada término en $x (\ln (8) - \ln (5)) = \ln (\frac{25}{3})$ por $\ln (8) - \ln (5)$ .

$\frac{x (\ln (8) - \ln (5))}{\ln (8) - \ln (5)} = \frac{\ln (\frac{25}{3})}{\ln (8) - \ln (5)}$

Paso 5.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.6.2.1

Cancela el factor común de $\ln (8) - \ln (5)$ .

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Paso 5.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (\ln (8) - \ln (5))}{\ln (8) - \ln (5)} = \frac{\ln (\frac{25}{3})}{\ln (8) - \ln (5)}$

Paso 5.6.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{25}{3})}{\ln (8) - \ln (5)}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{\ln (\frac{25}{3})}{\ln (8) - \ln (5)}$

Forma decimal:

$x = 4.51116417 \dots$