Cálculo Ejemplos

$f (x) = 15 \sqrt{x (x - 3)}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x (x - 3)}$ como ${(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [15 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2

Como $15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $15 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $15 \frac{d}{d x} [{(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [{(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x (x - 3)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x (x - 3)$ .

$15 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$15 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x (x - 3)$ .

$15 (\frac{1}{2} {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$15 (\frac{1}{2} {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$15 (\frac{1}{2} {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$15 (\frac{1}{2} {(x (x - 3))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$15 (\frac{1}{2} {(x (x - 3))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Paso 6.2

Resta $2$ de $1$ .

$15 (\frac{1}{2} {(x (x - 3))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$15 (\frac{1}{2} {(x (x - 3))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Paso 7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x (x - 3))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$15 (\frac{{(x (x - 3))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Paso 7.3

Mueve ${(x (x - 3))}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$15 (\frac{1}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Paso 7.4

Combina $\frac{1}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}}$ y $15$ .

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x (x - 3)]$

Paso 8

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x - 3$ .

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 9

Diferencia.

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Paso 9.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 9.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (x (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 9.3

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (x (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 9.4

Simplifica la expresión.

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Paso 9.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (x \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 9.4.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (x + (x - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 9.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (x + (x - 3) \cdot 1)$

Paso 9.6

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 9.6.1

Multiplica $x - 3$ por $1$ .

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (x + x - 3)$

Paso 9.6.2

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 3)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Aplica la regla del producto a $x (x - 3)$ .

$\frac{15}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}})} (2 x - 3)$

Paso 10.2

Reordena los factores de $\frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 3)$ .

$(2 x - 3) \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$