Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2 (x^{2})}{e^{x}}$

Paso 1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x^{2}}{e^{x}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{e^{x}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{e^{x}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$2 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{x})}^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Paso 3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$2 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 \frac{e^{x} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$2 \frac{e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 5

Combina $2$ y $\frac{e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x}}{e^{2 x}}$ .

$\frac{2 (e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x})}{e^{2 x}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (e^{x} (2 x)) + 2 (- x^{2} e^{x})}{e^{2 x}}$

Paso 6.2

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 (2 e^{x} x) + 2 (- x^{2} e^{x})}{e^{2 x}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 (e^{x} x) + 2 (- x^{2} e^{x})}{e^{2 x}}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{4 e^{x} x - 2 x^{2} e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 6.2.2

Reordena los factores en $4 e^{x} x - 2 x^{2} e^{x}$ .

$\frac{4 x e^{x} - 2 x^{2} e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 6.3

Reordena los términos.

$\frac{4 e^{x} x - 2 e^{x} x^{2}}{e^{2 x}}$

Paso 6.4

Factoriza $2 e^{x} x$ de $4 e^{x} x - 2 e^{x} x^{2}$ .

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Paso 6.4.1

Factoriza $2 e^{x} x$ de $4 e^{x} x$ .

$\frac{2 e^{x} x (2) - 2 e^{x} x^{2}}{e^{2 x}}$

Paso 6.4.2

Factoriza $2 e^{x} x$ de $- 2 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{2 e^{x} x (2) + 2 e^{x} x (- x)}{e^{2 x}}$

Paso 6.4.3

Factoriza $2 e^{x} x$ de $2 e^{x} x (2) + 2 e^{x} x (- x)$ .

$\frac{2 e^{x} x (2 - x)}{e^{2 x}}$

Paso 6.5

Cancela el factor común de $e^{x}$ y $e^{2 x}$ .

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Paso 6.5.1

Factoriza $e^{2 x}$ de $2 e^{x} x (2 - x)$ .

$\frac{e^{2 x} (2 e^{- x} x (2 - x))}{e^{2 x}}$

Paso 6.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.5.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{e^{2 x} (2 e^{- x} x (2 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Paso 6.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{e^{2 x} (2 e^{- x} x (2 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Paso 6.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 e^{- x} x (2 - x)}{1}$

Paso 6.5.2.4

Divide $2 e^{- x} x (2 - x)$ por $1$ .

$2 e^{- x} x (2 - x)$

Paso 6.6

Aplica la propiedad distributiva.

$2 e^{- x} x \cdot 2 + 2 e^{- x} x (- x)$

Paso 6.7

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 e^{- x} x + 2 e^{- x} x (- x)$

Paso 6.8

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.8.1

Mueve $x$ .

$4 e^{- x} x + 2 e^{- x} (x \cdot x) \cdot - 1$

Paso 6.8.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$4 e^{- x} x + 2 e^{- x} x^{2} \cdot - 1$

Paso 6.9

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$4 e^{- x} x - 2 e^{- x} x^{2}$

Paso 6.10

Reordena los factores en $4 e^{- x} x - 2 e^{- x} x^{2}$ .

$4 x e^{- x} - 2 x^{2} e^{- x}$