Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{3} + x - \sqrt{5} x^{- 2} + 7 x - 3$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{4} - 3 x^{3} + x - \sqrt{5} x^{- 2} + 7 x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

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Paso 2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{4}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 2.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Paso 3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$8 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 3.3

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}]$ .

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Paso 5.1

Como $- \sqrt{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sqrt{5} x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- \sqrt{5} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 - \sqrt{5} \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 - \sqrt{5} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 5.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + 2 \sqrt{5} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 6

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Paso 6.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + 2 \sqrt{5} x^{- 3} + 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + 2 \sqrt{5} x^{- 3} + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 6.3

Multiplica $7$ por $1$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + 2 \sqrt{5} x^{- 3} + 7 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 7

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + 2 \sqrt{5} x^{- 3} + 7 + 0$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + 2 \sqrt{5} \frac{1}{x^{3}} + 7 + 0$

Paso 8.2

Combina los términos.

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Paso 8.2.1

Combina $\frac{1}{x^{3}}$ y $2$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + \frac{2}{x^{3}} \sqrt{5} + 7 + 0$

Paso 8.2.2

Combina $\frac{2}{x^{3}}$ y $\sqrt{5}$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + \frac{2 \sqrt{5}}{x^{3}} + 7 + 0$

Paso 8.2.3

Suma $1$ y $7$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{2 \sqrt{5}}{x^{3}} + 8 + 0$

Paso 8.2.4

Suma $8 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{2 \sqrt{5}}{x^{3}} + 8$ y $0$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{2 \sqrt{5}}{x^{3}} + 8$