Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 \ln (\frac{11}{x})$

Paso 1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \ln (\frac{11}{x})$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{11}{x})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{11}{x})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \frac{11}{x}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{11}{x}$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{11}{x}])$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{11}{x}])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{11}{x}$ .

$2 (\frac{1}{\frac{11}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{11}{x}])$

Paso 3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{11}{x}$ .

$2 (1 \frac{x}{11} \frac{d}{d x} [\frac{11}{x}])$

Paso 4

Combina fracciones.

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{x}{11}$ por $1$ .

$2 (\frac{x}{11} \frac{d}{d x} [\frac{11}{x}])$

Paso 4.2

Combina $\frac{x}{11}$ y $2$ .

$\frac{x \cdot 2}{11} \frac{d}{d x} [\frac{11}{x}]$

Paso 4.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2 \cdot x}{11} \frac{d}{d x} [\frac{11}{x}]$

Paso 5

Como $11$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{11}{x}$ con respecto a $x$ es $11 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{2 x}{11} (11 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Combina $11$ y $\frac{2 x}{11}$ .

$\frac{11 (2 x)}{11} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $11$ .

$\frac{22 x}{11} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 6.3

Cancela el factor común de $22$ y $11$ .

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Paso 6.3.1

Factoriza $11$ de $22 x$ .

$\frac{11 (2 x)}{11} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 6.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.2.1

Factoriza $11$ de $11$ .

$\frac{11 (2 x)}{11 (1)} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 6.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{11 (2 x)}{11 \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 6.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x}{1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 6.3.2.4

Divide $2 x$ por $1$ .

$2 x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 6.4

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$2 x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$2 x (- x^{- 2})$

Paso 8

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 x \cdot x^{- 2}$

Paso 9

Multiplica $x$ por $x^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 9.1

Mueve $x^{- 2}$ .

$- 2 (x^{- 2} x)$

Paso 9.2

Multiplica $x^{- 2}$ por $x$ .

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Paso 9.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 2 (x^{- 2} x^{1})$

Paso 9.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 2 x^{- 2 + 1}$

Paso 9.3

Suma $- 2$ y $1$ .

$- 2 x^{- 1}$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x}$

Paso 10.2

Combina los términos.

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Paso 10.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 2}{x}$

Paso 10.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{x}$