Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 \arcsin (\frac{x - 1}{u})$

Paso 1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \arcsin (\frac{x - 1}{u})$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x - 1}{u})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x - 1}{u})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arcsin (x)$ y $g (x) = \frac{x - 1}{u}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\frac{x - 1}{u}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}])$

Paso 2.2

La derivada de $\arcsin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$2 (\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\frac{x - 1}{u}$ .

$2 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$ y $2$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}]$

Paso 3.2

Como $\frac{1}{u}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x - 1}{u}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1]$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Paso 3.3

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (1 + 0)$

Paso 3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 3.7.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \cdot 1$

Paso 3.7.2

Multiplica $\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$ por $1$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la regla del producto a $\frac{x - 1}{u}$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - \frac{{(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{u^{2}}{u^{2}} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$

Paso 4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$

Paso 4.2.3

Reescribe $\frac{2}{u \sqrt{\frac{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$ como $\frac{2}{u (\frac{1}{u} \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}})}$ .

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Paso 4.2.3.1

Reescribe $\frac{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}{u^{2}}$ como ${(\frac{1}{u})}^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})$ .

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Paso 4.2.3.1.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $u^{2} - {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{1^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}{u^{2}}}}$

Paso 4.2.3.1.2

Factoriza la potencia perfecta $u^{2}$ de $u^{2}$ .

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{1^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}{u^{2} \cdot 1}}}$

Paso 4.2.3.1.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}{u^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{2}{u \sqrt{{(\frac{1}{u})}^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}}$

Paso 4.2.3.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{2}{u (\frac{1}{u} \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}})}$

Paso 4.2.4

Combina $\frac{1}{u}$ y $\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2}{u \frac{\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}}$

Paso 4.2.5

Combina $u$ y $\frac{\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}$ .

$\frac{2}{\frac{u \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}}$

Paso 4.2.6

Cancela el factor común de $u$ .

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Paso 4.2.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{\frac{u \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}}$

Paso 4.2.6.2

Divide $\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}$ por $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}$