Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 \ln (\csc (x^{2}))$

Paso 1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \ln (\csc (x^{2}))$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\ln (\csc (x^{2}))]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\ln (\csc (x^{2}))]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \csc (x^{2})$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\csc (x^{2})$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$2 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\csc (x^{2})$ .

$2 (\frac{1}{\csc (x^{2})} \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

Paso 3

Reescribe $\csc (x^{2})$ en términos de senos y cosenos.

$2 (\frac{1}{\frac{1}{\sin (x^{2})}} \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

Paso 4

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\sin (x^{2})}$ .

$2 (1 \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

Paso 5

Multiplica $\sin (x^{2})$ por $1$ .

$2 (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

Paso 6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \csc (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{2}$ .

$2 \sin (x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 6.2

La derivada de $\csc (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$2 \sin (x^{2}) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{2}$ .

$2 \sin (x^{2}) (- \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 7

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sin (x^{2}) (\csc (x^{2}) \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 2 \sin (x^{2}) \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) (2 x)$

Paso 7.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- 4 \sin (x^{2}) \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Reordena los factores de $- 4 \sin (x^{2}) \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x$ .

$- 4 x \cot (x^{2}) \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

Paso 8.2

Reescribe $\cot (x^{2})$ en términos de senos y cosenos.

$- 4 x \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

Paso 8.3

Multiplica $- 4 x \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

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Paso 8.3.1

Combina $- 4$ y $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$x \frac{- 4 \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

Paso 8.3.2

Combina $x$ y $\frac{- 4 \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$\frac{x (- 4 \cos (x^{2}))}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

Paso 8.4

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{- 4 \cdot x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

Paso 8.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4 \cdot x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

Paso 8.6

Reescribe $\csc (x^{2})$ en términos de senos y cosenos.

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})} \sin (x^{2})$

Paso 8.7

Multiplica $- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})}$ .

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Paso 8.7.1

Multiplica $\frac{1}{\sin (x^{2})}$ por $\frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x^{2})$

Paso 8.7.2

Eleva $\sin (x^{2})$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin^{1} (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x^{2})$

Paso 8.7.3

Eleva $\sin (x^{2})$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin^{1} (x^{2}) \sin^{1} (x^{2})} \sin (x^{2})$

Paso 8.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{{\sin (x^{2})}^{1 + 1}} \sin (x^{2})$

Paso 8.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} \sin (x^{2})$

Paso 8.8

Cancela el factor común de $\sin (x^{2})$ .

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Paso 8.8.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})}$ al numerador.

$\frac{- 4 x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} \sin (x^{2})$

Paso 8.8.2

Factoriza $\sin (x^{2})$ de $\sin^{2} (x^{2})$ .

$\frac{- 4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x^{2})$

Paso 8.8.3

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x^{2})$

Paso 8.8.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$

Paso 8.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$

Paso 8.10

Separa las fracciones.

$- (\frac{4 x}{1} \cdot \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})})$

Paso 8.11

Convierte de $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ a $\cot (x^{2})$ .

$- (\frac{4 x}{1} \cot (x^{2}))$

Paso 8.12

Divide $4 x$ por $1$ .

$- (4 x \cot (x^{2}))$

Paso 8.13

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 4 x \cot (x^{2})$