Cálculo Ejemplos

$f (x) = 22 \arctan (\sqrt{s})$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{s}$ como $s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d s} [22 \arctan (s^{\frac{1}{2}})]$

Paso 1.2

Como $22$ es constante con respecto a $s$ , la derivada de $22 \arctan (s^{\frac{1}{2}})$ con respecto a $s$ es $22 \frac{d}{d s} [\arctan (s^{\frac{1}{2}})]$ .

$22 \frac{d}{d s} [\arctan (s^{\frac{1}{2}})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ es $f' (g (s)) g' (s)$ donde $f (s) = \arctan (s)$ y $g (s) = s^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $s^{\frac{1}{2}}$ .

$22 (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.2

La derivada de $\arctan (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$22 (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $s^{\frac{1}{2}}$ .

$22 (\frac{1}{1 + {(s^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3

Multiplica los exponentes en ${(s^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$22 (\frac{1}{1 + s^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común.

$22 (\frac{1}{1 + s^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3.2.2

Reescribe la expresión.

$22 (\frac{1}{1 + s^{1}} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4

Simplifica.

$22 (\frac{1}{1 + s} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}])$

Paso 5

Combina $\frac{1}{1 + s}$ y $22$ .

$\frac{22}{1 + s} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}]$

Paso 6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ es $n s^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{22}{1 + s} (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{22}{1 + s} (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{22}{1 + s} (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{22}{1 + s} (\frac{1}{2} s^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 10

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{22}{1 + s} (\frac{1}{2} s^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 10.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{22}{1 + s} (\frac{1}{2} s^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{22}{1 + s} (\frac{1}{2} s^{- \frac{1}{2}})$

Paso 12

Combina $\frac{1}{2}$ y $s^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{22}{1 + s} \cdot \frac{s^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 13

Multiplica $\frac{22}{1 + s}$ por $\frac{s^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{22 s^{- \frac{1}{2}}}{(1 + s) \cdot 2}$

Paso 14

Simplifica la expresión.

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Paso 14.1

Mueve $2$ a la izquierda de $1 + s$ .

$\frac{22 s^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot (1 + s)}$

Paso 14.2

Mueve $s^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{22}{2 (1 + s) s^{\frac{1}{2}}}$

Paso 15

Factoriza $2$ de $22$ .

$\frac{2 \cdot 11}{2 (1 + s) s^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16

Cancela los factores comunes.

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Paso 16.1

Factoriza $2$ de $2 (1 + s) s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 11}{2 ((1 + s) s^{\frac{1}{2}})}$

Paso 16.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 11}{2 ((1 + s) s^{\frac{1}{2}})}$

Paso 16.3

Reescribe la expresión.

$\frac{11}{(1 + s) s^{\frac{1}{2}}}$

Paso 17

Simplifica.

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Paso 17.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{11}{1 s^{\frac{1}{2}} + s \cdot s^{\frac{1}{2}}}$

Paso 17.2

Combina los términos.

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Paso 17.2.1

Multiplica $s^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} + s \cdot s^{\frac{1}{2}}}$

Paso 17.2.2

Multiplica $s$ por $s^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 17.2.2.1

Multiplica $s$ por $s^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 17.2.2.1.1

Eleva $s$ a la potencia de $1$ .

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} + s^{1} s^{\frac{1}{2}}}$

Paso 17.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} + s^{1 + \frac{1}{2}}}$

Paso 17.2.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} + s^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Paso 17.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} + s^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Paso 17.2.2.4

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} + s^{\frac{3}{2}}}$

Paso 17.3

Simplifica el denominador.

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Paso 17.3.1

Factoriza $s^{\frac{1}{2}}$ de $s^{\frac{1}{2}} + s^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 17.3.1.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + s^{\frac{3}{2}}}$

Paso 17.3.1.2

Factoriza $s^{\frac{1}{2}}$ de $s^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{2}{2}}}$

Paso 17.3.1.3

Factoriza $s^{\frac{1}{2}}$ de $s^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{2}{2}}$ .

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} (1 + s^{\frac{2}{2}})}$

Paso 17.3.2

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} (1 + s^{1})}$

Paso 17.3.3

Simplifica.

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} (1 + s)}$