Cálculo Ejemplos

$f (x) = 20 (\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13})) + 30$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $20 (\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13})) + 30$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [20 (\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13}))] + \frac{d}{d t} [30]$ .

$\frac{d}{d t} [20 (\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13}))] + \frac{d}{d t} [30]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d t} [20 (\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13}))]$ .

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Paso 2.1

Como $20$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $20 (\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13}))$ con respecto a $t$ es $20 \frac{d}{d t} [\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13})]$ .

$20 \frac{d}{d t} [\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13})] + \frac{d}{d t} [30]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13})$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [\frac{t}{12}] + \frac{d}{d t} [- \ln (\frac{t}{13})]$ .

$20 (\frac{d}{d t} [\frac{t}{12}] + \frac{d}{d t} [- \ln (\frac{t}{13})]) + \frac{d}{d t} [30]$

Paso 2.3

Como $\frac{1}{12}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{t}{12}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{12} \frac{d}{d t} [t]$ .

$20 (\frac{1}{12} \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \ln (\frac{t}{13})]) + \frac{d}{d t} [30]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$20 (\frac{1}{12} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- \ln (\frac{t}{13})]) + \frac{d}{d t} [30]$

Paso 2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- \ln (\frac{t}{13})$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [\ln (\frac{t}{13})]$ .

$20 (\frac{1}{12} \cdot 1 - \frac{d}{d t} [\ln (\frac{t}{13})]) + \frac{d}{d t} [30]$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \ln (t)$ y $g (t) = \frac{t}{13}$ .

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Paso 2.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{t}{13}$ .

$20 (\frac{1}{12} \cdot 1 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [\frac{t}{13}])) + \frac{d}{d t} [30]$

Paso 2.6.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$20 (\frac{1}{12} \cdot 1 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [\frac{t}{13}])) + \frac{d}{d t} [30]$

Paso 2.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{t}{13}$ .

$20 (\frac{1}{12} \cdot 1 - (\frac{1}{\frac{t}{13}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{13}])) + \frac{d}{d t} [30]$

Paso 2.7

Como $\frac{1}{13}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{t}{13}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{13} \frac{d}{d t} [t]$ .

$20 (\frac{1}{12} \cdot 1 - (\frac{1}{\frac{t}{13}} (\frac{1}{13} \frac{d}{d t} [t]))) + \frac{d}{d t} [30]$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$20 (\frac{1}{12} \cdot 1 - (\frac{1}{\frac{t}{13}} (\frac{1}{13} \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [30]$

Paso 2.9

Multiplica $\frac{1}{12}$ por $1$ .

$20 (\frac{1}{12} - (\frac{1}{\frac{t}{13}} (\frac{1}{13} \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [30]$

Paso 2.10

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{t}{13}$ .

$20 (\frac{1}{12} - (1 \frac{13}{t} (\frac{1}{13} \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [30]$

Paso 2.11

Multiplica $\frac{13}{t}$ por $1$ .

$20 (\frac{1}{12} - (\frac{13}{t} (\frac{1}{13} \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [30]$

Paso 2.12

Multiplica $\frac{1}{13}$ por $1$ .

$20 (\frac{1}{12} - (\frac{13}{t} \cdot \frac{1}{13})) + \frac{d}{d t} [30]$

Paso 2.13

Multiplica $\frac{13}{t}$ por $\frac{1}{13}$ .

$20 (\frac{1}{12} - \frac{13}{t \cdot 13}) + \frac{d}{d t} [30]$

Paso 2.14

Mueve $13$ a la izquierda de $t$ .

$20 (\frac{1}{12} - \frac{13}{13 \cdot t}) + \frac{d}{d t} [30]$

Paso 2.15

Cancela el factor común de $13$ .

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Paso 2.15.1

Cancela el factor común.

$20 (\frac{1}{12} - \frac{13}{13 t}) + \frac{d}{d t} [30]$

Paso 2.15.2

Reescribe la expresión.

$20 (\frac{1}{12} - \frac{1}{t}) + \frac{d}{d t} [30]$

Paso 3

Como $30$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $30$ con respecto a $t$ es $0$ .

$20 (\frac{1}{12} - \frac{1}{t}) + 0$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$20 (\frac{1}{12}) + 20 (- \frac{1}{t}) + 0$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Combina $20$ y $\frac{1}{12}$ .

$\frac{20}{12} + 20 (- \frac{1}{t}) + 0$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común de $20$ y $12$ .

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Paso 4.2.2.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$\frac{4 (5)}{12} + 20 (- \frac{1}{t}) + 0$

Paso 4.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 3} + 20 (- \frac{1}{t}) + 0$

Paso 4.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 3} + 20 (- \frac{1}{t}) + 0$

Paso 4.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{3} + 20 (- \frac{1}{t}) + 0$

Paso 4.2.3

Multiplica $- 1$ por $20$ .

$\frac{5}{3} - 20 \frac{1}{t} + 0$

Paso 4.2.4

Combina $- 20$ y $\frac{1}{t}$ .

$\frac{5}{3} + \frac{- 20}{t} + 0$

Paso 4.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{5}{3} - \frac{20}{t} + 0$

Paso 4.2.6

Suma $\frac{5}{3} - \frac{20}{t}$ y $0$ .

$\frac{5}{3} - \frac{20}{t}$

Paso 4.3

Reordena los términos.

$- \frac{20}{t} + \frac{5}{3}$