Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 e^{- 2 \cos^{2} (x)} - \frac{3}{e^{2}}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 e^{- 2 \cos^{2} (x)} - \frac{3}{e^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 \cos^{2} (x)}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{e^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 \cos^{2} (x)}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{e^{2}}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 \cos^{2} (x)}]$ .

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Paso 2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 e^{- 2 \cos^{2} (x)}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 \cos^{2} (x)}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 \cos^{2} (x)}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{e^{2}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 2 \cos^{2} (x)$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 2 \cos^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{e^{2}}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$3 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 2 \cos^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{e^{2}}]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$3 (e^{- 2 \cos^{2} (x)} \frac{d}{d x} [- 2 \cos^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{e^{2}}]$

Paso 2.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 \cos^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$3 (e^{- 2 \cos^{2} (x)} (- 2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{e^{2}}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\cos (x)$ .

$3 (e^{- 2 \cos^{2} (x)} (- 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]))) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{e^{2}}]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (e^{- 2 \cos^{2} (x)} (- 2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]))) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{e^{2}}]$

Paso 2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\cos (x)$ .

$3 (e^{- 2 \cos^{2} (x)} (- 2 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]))) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{e^{2}}]$

Paso 2.5

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$3 (e^{- 2 \cos^{2} (x)} (- 2 (2 \cos (x) (- \sin (x))))) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{e^{2}}]$

Paso 2.6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$3 (e^{- 2 \cos^{2} (x)} (- 2 (- 2 \cos (x) \sin (x)))) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{e^{2}}]$

Paso 2.7

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$3 (e^{- 2 \cos^{2} (x)} (4 (\cos (x) \sin (x)))) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{e^{2}}]$

Paso 2.8

Mueve $4$ a la izquierda de $e^{- 2 \cos^{2} (x)}$ .

$3 (4 \cdot e^{- 2 \cos^{2} (x)} \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{e^{2}}]$

Paso 2.9

Multiplica $4$ por $3$ .

$12 e^{- 2 \cos^{2} (x)} \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{e^{2}}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.1

Como $- \frac{3}{e^{2}}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{3}{e^{2}}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$12 e^{- 2 \cos^{2} (x)} \cos (x) \sin (x) + 0$

Paso 3.2

Suma $12 e^{- 2 \cos^{2} (x)} \cos (x) \sin (x)$ y $0$ .

$12 e^{- 2 \cos^{2} (x)} \cos (x) \sin (x)$