Cálculo Ejemplos

$f (x) = - 3 \cos^{2} (x) \cdot \sin (x)$

Paso 1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 \cos^{2} (x) \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \cos^{2} (x)$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$- 3 (\cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])$

Paso 3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$- 3 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])$

Paso 4

Multiplica $\cos^{2} (x)$ por $\cos (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1

Multiplica $\cos^{2} (x)$ por $\cos (x)$ .

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Paso 4.1.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$- 3 (\cos^{2} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])$

Paso 4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 3 ({\cos (x)}^{2 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])$

Paso 4.2

Suma $2$ y $1$ .

$- 3 (\cos^{3} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])$

Paso 5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\cos (x)$ .

$- 3 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 3 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

Paso 5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$- 3 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

Paso 6

Mueve $2$ a la izquierda de $\sin (x)$ .

$- 3 (\cos^{3} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 7

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- 3 (\cos^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) (- \sin (x)))$

Paso 8

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 3 (\cos^{3} (x) - 2 \sin (x) \cos (x) \sin (x))$

Paso 9

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$- 3 (\cos^{3} (x) - 2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos (x))$

Paso 10

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$- 3 (\cos^{3} (x) - 2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x))$

Paso 11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 3 (\cos^{3} (x) - 2 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x))$

Paso 12

Suma $1$ y $1$ .

$- 3 (\cos^{3} (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos (x))$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3 \cos^{3} (x) - 3 (- 2 \sin^{2} (x) \cos (x))$

Paso 13.2

Multiplica $- 2$ por $- 3$ .

$- 3 \cos^{3} (x) + 6 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Paso 13.3

Reordena los términos.

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 3 \cos^{3} (x)$