Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 - \frac{6 y}{1 - 2 y^{2}}$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - \frac{6 y}{1 - 2 y^{2}}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- \frac{6 y}{1 - 2 y^{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- \frac{6 y}{1 - 2 y^{2}}]$

Paso 1.2

Como $3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- \frac{6 y}{1 - 2 y^{2}}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d y} [- \frac{6 y}{1 - 2 y^{2}}]$ .

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Paso 2.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- \frac{6 y}{1 - 2 y^{2}}$ con respecto a $y$ es $- 6 \frac{d}{d y} [\frac{y}{1 - 2 y^{2}}]$ .

$0 - 6 \frac{d}{d y} [\frac{y}{1 - 2 y^{2}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ es $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ donde $f (y) = y$ y $g (y) = 1 - 2 y^{2}$ .

$0 - 6 \frac{(1 - 2 y^{2}) \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [1 - 2 y^{2}]}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 6 \frac{(1 - 2 y^{2}) \cdot 1 - y \frac{d}{d y} [1 - 2 y^{2}]}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Paso 2.4

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 2 y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$ .

$0 - 6 \frac{(1 - 2 y^{2}) \cdot 1 - y (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}])}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Paso 2.5

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 - 6 \frac{(1 - 2 y^{2}) \cdot 1 - y (0 + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}])}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Paso 2.6

Como $- 2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2 y^{2}$ con respecto a $y$ es $- 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 - 6 \frac{(1 - 2 y^{2}) \cdot 1 - y (0 - 2 \frac{d}{d y} [y^{2}])}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - 6 \frac{(1 - 2 y^{2}) \cdot 1 - y (0 - 2 (2 y))}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Paso 2.8

Multiplica $1 - 2 y^{2}$ por $1$ .

$0 - 6 \frac{1 - 2 y^{2} - y (0 - 2 (2 y))}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Paso 2.9

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$0 - 6 \frac{1 - 2 y^{2} - y (0 - 4 y)}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Paso 2.10

Resta $4 y$ de $0$ .

$0 - 6 \frac{1 - 2 y^{2} - y (- 4 y)}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Paso 2.11

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$0 - 6 \frac{1 - 2 y^{2} + 4 y \cdot y}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Paso 2.12

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$0 - 6 \frac{1 - 2 y^{2} + 4 (y^{1} y)}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Paso 2.13

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$0 - 6 \frac{1 - 2 y^{2} + 4 (y^{1} y^{1})}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Paso 2.14

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$0 - 6 \frac{1 - 2 y^{2} + 4 y^{1 + 1}}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Paso 2.15

Suma $1$ y $1$ .

$0 - 6 \frac{1 - 2 y^{2} + 4 y^{2}}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Paso 2.16

Suma $- 2 y^{2}$ y $4 y^{2}$ .

$0 - 6 \frac{1 + 2 y^{2}}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Paso 2.17

Combina $- 6$ y $\frac{1 + 2 y^{2}}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$ .

$0 + \frac{- 6 (1 + 2 y^{2})}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Paso 2.18

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 - \frac{6 (1 + 2 y^{2})}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$0 - \frac{6 \cdot 1 + 6 (2 y^{2})}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Paso 3.2

Combina los términos.

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Paso 3.2.1

Multiplica $6$ por $1$ .

$0 - \frac{6 + 6 (2 y^{2})}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Paso 3.2.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$0 - \frac{6 + 12 y^{2}}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Paso 3.2.3

Resta $\frac{6 + 12 y^{2}}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$ de $0$ .

$- \frac{6 + 12 y^{2}}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Paso 3.3

Factoriza $6$ de $6 + 12 y^{2}$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $6$ de $6$ .

$- \frac{6 (1) + 12 y^{2}}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Paso 3.3.2

Factoriza $6$ de $12 y^{2}$ .

$- \frac{6 (1) + 6 (2 y^{2})}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Paso 3.3.3

Factoriza $6$ de $6 (1) + 6 (2 y^{2})$ .

$- \frac{6 (1 + 2 y^{2})}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$