Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 {(4 - x)}^{2}$

Paso 1

Reescribe ${(4 - x)}^{2}$ como $(4 - x) (4 - x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 ((4 - x) (4 - x))]$

Paso 2

Expande $(4 - x) (4 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [3 (4 (4 - x) - x (4 - x))]$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [3 (4 \cdot 4 + 4 (- x) - x (4 - x))]$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [3 (4 \cdot 4 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x))]$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{d}{d x} [3 (16 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x))]$

Paso 3.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{d}{d x} [3 (16 - 4 x - x \cdot 4 - x (- x))]$

Paso 3.1.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 (16 - 4 x - 4 x - x (- x))]$

Paso 3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d}{d x} [3 (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x)]$

Paso 3.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.5.1

Mueve $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x))]$

Paso 3.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 x^{2})]$

Paso 3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 (16 - 4 x - 4 x + 1 x^{2})]$

Paso 3.1.7

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [3 (16 - 4 x - 4 x + x^{2})]$

Paso 3.2

Resta $4 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 (16 - 8 x + x^{2})]$

Paso 4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 (16 - 8 x + x^{2})$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [16 - 8 x + x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [16 - 8 x + x^{2}]$

Paso 5

Según la regla de la suma, la derivada de $16 - 8 x + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 6

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 (0 + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 7

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$3 (\frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 8

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (- 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (- 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 10

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$3 (- 8 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (- 8 + 2 x)$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \cdot - 8 + 3 (2 x)$

Paso 12.2

Combina los términos.

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Paso 12.2.1

Multiplica $3$ por $- 8$ .

$- 24 + 3 (2 x)$

Paso 12.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$- 24 + 6 x$

Paso 12.3

Reordena los términos.

$6 x - 24$