Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 (5^{\sqrt{2 x + 7}})$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x + 7}$ como ${(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = 5^{x}$ y $g (x) = {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [5^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $5$ .

$3 (5^{u_{1}} \ln (5) \frac{d}{d x} [{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) \frac{d}{d x} [{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 2 x + 7$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x + 7$ .

$3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x + 7])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 7])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x + 7$ .

$3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) (\frac{1}{2} {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 7])$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) (\frac{1}{2} {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 7])$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) (\frac{1}{2} {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 7])$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) (\frac{1}{2} {(2 x + 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 7])$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) (\frac{1}{2} {(2 x + 7)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 7])$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) (\frac{1}{2} {(2 x + 7)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 7])$

Paso 8

Combina fracciones.

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Paso 8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) (\frac{1}{2} {(2 x + 7)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 7])$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(2 x + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) (\frac{{(2 x + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x + 7])$

Paso 8.3

Mueve ${(2 x + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) (\frac{1}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x + 7])$

Paso 8.4

Combina $3$ y $\frac{1}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) (\frac{3}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x + 7])$

Paso 8.5

Combina $\frac{3}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ y $5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) \frac{d}{d x} [2 x + 7]$

Paso 8.6

Combina $\frac{3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ y $\ln (5)$ .

$\frac{3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5)}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x + 7]$

Paso 9

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5)}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 10

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5)}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5)}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 12

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5)}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 13

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5)}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0)$

Paso 14

Simplifica los términos.

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Paso 14.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5)}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2$

Paso 14.2

Combina $\frac{3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5)}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ y $2$ .

$\frac{3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) \cdot 2}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{6 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5)}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.4

Factoriza $2$ de $6 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5)$ .

$\frac{2 (3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5))}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 15

Cancela los factores comunes.

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Paso 15.1

Factoriza $2$ de $2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5))}{2 ({(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 15.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5))}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 15.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5)}{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16

Simplifica el numerador.

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Paso 16.1

Simplifica $3 \ln (5)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\frac{5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5^{3})}{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.2

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$\frac{5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (125)}{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$