Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x^{2} + 8 x + 10 \sqrt{x}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} + 8 x + 10 \sqrt{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [10 \sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [10 \sqrt{x}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [10 \sqrt{x}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [10 \sqrt{x}]$

Paso 2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [10 \sqrt{x}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Paso 3.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10 \sqrt{x}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10 \sqrt{x}]$

Paso 3.3

Multiplica $8$ por $1$ .

$6 x + 8 + \frac{d}{d x} [10 \sqrt{x}]$

Paso 4

Evalúa $\frac{d}{d x} [10 \sqrt{x}]$ .

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 x + 8 + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.2

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$6 x + 8 + 10 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$6 x + 8 + 10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 4.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$6 x + 8 + 10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 4.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$6 x + 8 + 10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$6 x + 8 + 10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 4.7

Simplifica el numerador.

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Paso 4.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$6 x + 8 + 10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 4.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$6 x + 8 + 10 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$6 x + 8 + 10 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 4.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 x + 8 + 10 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 4.10

Combina $10$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$6 x + 8 + \frac{10 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 4.11

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x + 8 + \frac{10}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.12

Factoriza $2$ de $10$ .

$6 x + 8 + \frac{2 \cdot 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.13.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 x + 8 + \frac{2 \cdot 5}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Paso 4.13.2

Cancela el factor común.

$6 x + 8 + \frac{2 \cdot 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.13.3

Reescribe la expresión.

$6 x + 8 + \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}$