Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 \sqrt{4 x} + e^{- 2 x}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 \sqrt{4 x} + e^{- 2 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 \sqrt{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \sqrt{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 \sqrt{4 x}]$ .

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{4 x}$ como ${(4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 {(4 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Paso 2.2

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 {(4 (x))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Paso 2.3

Aplica la regla del producto a $4 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 (4^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Paso 2.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [3 ({(2^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Paso 2.5

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [3 (2^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Paso 2.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{d}{d x} [3 (2^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Paso 2.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d}{d x} [3 (2^{1} x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Paso 2.7

Evalúa el exponente.

$\frac{d}{d x} [3 (2 x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Paso 2.8

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Paso 2.9

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Paso 2.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Paso 2.11

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Paso 2.12

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Paso 2.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Paso 2.14

Simplifica el numerador.

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Paso 2.14.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Paso 2.14.2

Resta $2$ de $1$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Paso 2.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$6 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Paso 2.16

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Paso 2.17

Combina $6$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{6 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Paso 2.18

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Paso 2.19

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Paso 2.20

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.20.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Paso 2.20.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Paso 2.20.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 2 x$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 2 x$ .

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 2 x$ .

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 3.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)$

Paso 3.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{- 2 x} \cdot - 2$

Paso 3.5

Mueve $- 2$ a la izquierda de $e^{- 2 x}$ .

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{- 2 x}$