Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x^{4} \ln ({(x)}^{2})$

Paso 1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{4} \ln (x^{2})$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x^{2})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x^{2})]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = \ln (x^{2})$ .

$3 (x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$3 (x^{4} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$3 (x^{4} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$3 (x^{4} (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 4.1

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $x^{4}$ .

$3 (\frac{x^{4}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $x^{4}$ y $x^{2}$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$3 (\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$3 (\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 4.2.2.2

Cancela el factor común.

$3 (\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$3 (\frac{x^{2}}{1} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 4.2.2.4

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (x^{2} (2 x) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 5

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1

Mueve $x$ .

$3 (x \cdot x^{2} \cdot 2 + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 5.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$3 (x^{1} x^{2} \cdot 2 + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 (x^{1 + 2} \cdot 2 + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 5.3

Suma $1$ y $2$ .

$3 (x^{3} \cdot 2 + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 6

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$3 (2 \cdot x^{3} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$3 (2 x^{3} + \ln (x^{2}) (4 x^{3}))$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (2 x^{3}) + 3 (\ln (x^{2}) (4 x^{3}))$

Paso 8.2

Combina los términos.

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Paso 8.2.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x^{3} + 3 (\ln (x^{2}) (4 x^{3}))$

Paso 8.2.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$6 x^{3} + 12 \ln (x^{2}) x^{3}$

Paso 8.3

Reordena los términos.

$6 x^{3} + 12 x^{3} \ln (x^{2})$