Cálculo Ejemplos

$f (x) = 6 x^{4} - 5 x + x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{3}{2}})$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x^{4} - 5 x + x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{3}{2}})$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{3}{2}})]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{3}{2}})]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

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Paso 2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{4}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{3}{2}})]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{3}{2}})]$

Paso 2.3

Multiplica $4$ por $6$ .

$24 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{3}{2}})]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Paso 3.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{3}{2}})]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$24 x^{3} - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{3}{2}})]$

Paso 3.3

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$24 x^{3} - 5 + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{3}{2}})]$

Paso 4

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{3}{2}})]$ .

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Paso 4.1

Multiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{3}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$24 x^{3} - 5 + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}]$

Paso 4.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$24 x^{3} - 5 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1 + 3}{2}}]$

Paso 4.1.3

Suma $- 1$ y $3$ .

$24 x^{3} - 5 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{2}}]$

Paso 4.1.4

Divide $2$ por $2$ .

$24 x^{3} - 5 + \frac{d}{d x} [x^{1}]$

Paso 4.2

Simplifica $x^{1}$ .

$24 x^{3} - 5 + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$24 x^{3} - 5 + 1$

Paso 5

Suma $- 5$ y $1$ .

$24 x^{3} - 4$