Cálculo Ejemplos

$f (x) = 6 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}} + 8$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}} + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}}]$ .

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Paso 2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ y $g (x) = x - 4$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 4$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 4]) + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$6 (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 4]) + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 4$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 4]) + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 2.5

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 2.7

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 2.9.2

Resta $3$ de $2$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 2.11

Suma $1$ y $0$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 2.12

Combina $\frac{2}{3}$ y ${(x - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$6 (\frac{2 {(x - 4)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 2.13

Multiplica $\frac{2 {(x - 4)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ por $1$ .

$6 \frac{2 {(x - 4)}^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 2.14

Mueve ${(x - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{2}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 2.15

Combina $6$ y $\frac{2}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 2.16

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{12}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 2.17

Factoriza $3$ de $12$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 2.18

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.18.1

Factoriza $3$ de $3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(x - 4)}^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 2.18.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 2.18.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + 0$

Paso 3.2

Suma $\frac{4}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ y $0$ .

$\frac{4}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}$