Cálculo Ejemplos

$f (x) = 5 x {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}] + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 2 x^{3} - 7$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x^{3} - 7$ .

$5 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$5 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x^{3} - 7$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 (x (\frac{1}{2} {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 8

Combina fracciones.

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Paso 8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5 (x (\frac{1}{2} {(2 x^{3} - 7)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(2 x^{3} - 7)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 (x (\frac{{(2 x^{3} - 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 8.3

Mueve ${(2 x^{3} - 7)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (x (\frac{1}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 8.4

Combina $\frac{1}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$5 (\frac{x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7] + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 9

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{3} - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$5 (\frac{x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 10

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 (\frac{x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$5 (\frac{x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 12

Multiplica $3$ por $2$ .

$5 (\frac{x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 13

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 (\frac{x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} (6 x^{2} + 0) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 14

Combina fracciones.

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Paso 14.1

Suma $6 x^{2}$ y $0$ .

$5 (\frac{x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} (6 x^{2}) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 14.2

Combina $6$ y $\frac{x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 (\frac{6 x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} x^{2} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 14.3

Combina $\frac{6 x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x^{2}$ .

$5 (\frac{6 x \cdot x^{2}}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 15

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 15.1

Mueve $x^{2}$ .

$5 (\frac{6 (x^{2} x)}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 15.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 15.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$5 (\frac{6 (x^{2} x^{1})}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 15.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 (\frac{6 x^{2 + 1}}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 15.3

Suma $2$ y $1$ .

$5 (\frac{6 x^{3}}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 16

Factoriza $2$ de $6 x^{3}$ .

$5 (\frac{2 (3 x^{3})}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 17

Cancela los factores comunes.

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Paso 17.1

Factoriza $2$ de $2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{2 (3 x^{3})}{2 ({(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}})} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 17.2

Cancela el factor común.

$5 (\frac{2 (3 x^{3})}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 17.3

Reescribe la expresión.

$5 (\frac{3 x^{3}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 18

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 (\frac{3 x^{3}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Paso 19

Multiplica ${(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$5 (\frac{3 x^{3}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 20

Para escribir ${(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 (\frac{3 x^{3}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 21

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 \frac{3 x^{3} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22

Multiplica ${(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 22.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 \frac{3 x^{3} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 \frac{3 x^{3} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22.3

Suma $1$ y $1$ .

$5 \frac{3 x^{3} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{2}{2}}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22.4

Divide $2$ por $2$ .

$5 \frac{3 x^{3} + {(2 x^{3} - 7)}^{1}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 23

Simplifica ${(2 x^{3} - 7)}^{1}$ .

$5 \frac{3 x^{3} + 2 x^{3} - 7}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24

Suma $3 x^{3}$ y $2 x^{3}$ .

$5 \frac{5 x^{3} - 7}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 25

Combina $5$ y $\frac{5 x^{3} - 7}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5 (5 x^{3} - 7)}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$