Cálculo Ejemplos

$f (x) = 50 - \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $50 - \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [50] + \frac{d}{d t} [- \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

$\frac{d}{d t} [50] + \frac{d}{d t} [- \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

Paso 1.2

Como $50$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $50$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d t} [- \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

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Paso 2.1

Como $- 25$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$ con respecto a $t$ es $- 25 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

$0 - 25 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = {(t + 3)}^{2}$ .

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}]}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}]}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = t + 3$ .

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Paso 2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $t + 3$ .

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 u \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t + 3$ .

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $t + 3$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (1 + \frac{d}{d t} [3]))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.7

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (1 + 0))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.8

Mueve $2$ a la izquierda de ${(t + 3)}^{2}$ .

$0 - 25 \frac{2 \cdot {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3) (1 + 0))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.9

Suma $1$ y $0$ .

$0 - 25 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3) \cdot 1)}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.10

Multiplica $2$ por $1$ .

$0 - 25 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.11

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 25 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.12

Multiplica los exponentes en ${({(t + 3)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.12.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 25 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.12.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$0 - 25 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 2.13

Combina $- 25$ y $\frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$ .

$0 + \frac{- 25 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 2.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 - \frac{25 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$0 - \frac{25 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} t - 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$0 - \frac{25 (2 {(t + 3)}^{2} t) + 25 (- 2 t^{2} t) + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 3.3

Combina los términos.

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Paso 3.3.1

Multiplica $2$ por $25$ .

$0 - \frac{50 ({(t + 3)}^{2} t) + 25 (- 2 t^{2} t) + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 3.3.2

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t + 25 (- 2 (t^{1} t^{2})) + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 3.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t + 25 (- 2 t^{1 + 2}) + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 3.3.4

Suma $1$ y $2$ .

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t + 25 (- 2 t^{3}) + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 3.3.5

Multiplica $- 2$ por $25$ .

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 3.3.6

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} + 25 (- 6 t^{2})}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 3.3.7

Multiplica $- 6$ por $25$ .

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} - 150 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 3.3.8

Resta $\frac{50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} - 150 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$ de $0$ .

$- \frac{50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} - 150 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1

Factoriza $50 t$ de $50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} - 150 t^{2}$ .

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Paso 3.4.1.1

Factoriza $50 t$ de $50 {(t + 3)}^{2} t$ .

$- \frac{50 t ({(t + 3)}^{2}) - 50 t^{3} - 150 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 3.4.1.2

Factoriza $50 t$ de $- 50 t^{3}$ .

$- \frac{50 t ({(t + 3)}^{2}) + 50 t (- t^{2}) - 150 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 3.4.1.3

Factoriza $50 t$ de $- 150 t^{2}$ .

$- \frac{50 t ({(t + 3)}^{2}) + 50 t (- t^{2}) + 50 t (- 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 3.4.1.4

Factoriza $50 t$ de $50 t ({(t + 3)}^{2}) + 50 t (- t^{2})$ .

$- \frac{50 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2}) + 50 t (- 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 3.4.1.5

Factoriza $50 t$ de $50 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2}) + 50 t (- 3 t)$ .

$- \frac{50 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 3.4.2

Reescribe ${(t + 3)}^{2}$ como $(t + 3) (t + 3)$ .

$- \frac{50 t ((t + 3) (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 3.4.3

Expande $(t + 3) (t + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.4.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{50 t (t (t + 3) + 3 (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 3.4.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{50 t (t \cdot t + t \cdot 3 + 3 (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 3.4.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{50 t (t \cdot t + t \cdot 3 + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 3.4.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.4.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.4.1.1

Multiplica $t$ por $t$ .

$- \frac{50 t (t^{2} + t \cdot 3 + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 3.4.4.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $t$ .

$- \frac{50 t (t^{2} + 3 \cdot t + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 3.4.4.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{50 t (t^{2} + 3 t + 3 t + 9 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 3.4.4.2

Suma $3 t$ y $3 t$ .

$- \frac{50 t (t^{2} + 6 t + 9 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 3.4.5

Resta $t^{2}$ de $t^{2}$ .

$- \frac{50 t (6 t + 9 + 0 - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 3.4.6

Suma $6 t$ y $0$ .

$- \frac{50 t (6 t + 9 - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 3.4.7

Resta $3 t$ de $6 t$ .

$- \frac{50 t (3 t + 9)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 3.4.8

Factoriza $3$ de $3 t + 9$ .

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Paso 3.4.8.1

Factoriza $3$ de $3 t$ .

$- \frac{50 t (3 (t) + 9)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 3.4.8.2

Factoriza $3$ de $9$ .

$- \frac{50 t (3 t + 3 \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 3.4.8.3

Factoriza $3$ de $3 t + 3 \cdot 3$ .

$- \frac{50 t (3 (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

$- \frac{50 t \cdot 3 (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 3.4.9

Multiplica $3$ por $50$ .

$- \frac{150 t (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $t + 3$ y ${(t + 3)}^{4}$ .

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Paso 3.5.1

Factoriza $t + 3$ de $150 t (t + 3)$ .

$- \frac{(t + 3) (150 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.1

Factoriza $t + 3$ de ${(t + 3)}^{4}$ .

$- \frac{(t + 3) (150 t)}{(t + 3) {(t + 3)}^{3}}$

Paso 3.5.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{(t + 3) (150 t)}{(t + 3) {(t + 3)}^{3}}$

Paso 3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{150 t}{{(t + 3)}^{3}}$