Cálculo Ejemplos

$f (x) = 5 \cos (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{4} \cdot π)$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Combina $π$ y $\frac{3}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cos (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{π \cdot 3}{4})]$

Paso 1.2

Combina fracciones.

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Paso 1.2.1

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cos (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{3 \cdot π}{4})]$

Paso 1.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cos (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4})]$

Paso 1.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 \cos (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4})$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}$ .

$5 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}])$

Paso 2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$5 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}$ .

$5 (- \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$- 5 (\sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}])$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 π}{4}]$ .

$- 5 \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) (\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 π}{4}])$

Paso 3.3

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 5 \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 π}{4}])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 5 \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) (\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 π}{4}])$

Paso 3.5

Simplifica los términos.

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Paso 3.5.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$- 5 \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) (\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{3 π}{4}])$

Paso 3.5.2

Combina $\frac{2}{2}$ y $x$ .

$- 5 \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) (\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 π}{4}])$

Paso 3.5.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.3.1

Cancela el factor común.

$- 5 \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) (\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 π}{4}])$

Paso 3.5.3.2

Divide $x$ por $1$ .

$- 5 \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) (x + \frac{d}{d x} [- \frac{3 π}{4}])$

Paso 3.6

Como $- \frac{3 π}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{3 π}{4}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 5 \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) (x + 0)$

Paso 3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 3.7.1

Suma $x$ y $0$ .

$- 5 \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) x$

Paso 3.7.2

Reordena los factores de $- 5 \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) x$ .

$- 5 x \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4})$