Cálculo Ejemplos

$f (x) = - 6 \csc (\sqrt{5 x + 3})$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5 x + 3}$ como ${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})]$

Paso 1.2

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [\csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [\csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \csc (x)$ y $g (x) = {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 6 (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.2

La derivada de $\csc (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- 6 (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 6 (- \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$6 (\csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 5 x + 3$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $5 x + 3$ .

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $5 x + 3$ .

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Paso 5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Paso 6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Paso 7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Paso 8.2

Resta $2$ de $1$ .

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Paso 9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Paso 10

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(5 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{{(5 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Paso 11

Mueve ${(5 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Paso 12

Combina $\frac{1}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ y $6$ .

$\frac{6}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [5 x + 3]$

Paso 13

Combina $\frac{6}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ y $\csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [5 x + 3]$

Paso 14

Combina $\frac{6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ y $\cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]$

Paso 15

Factoriza $2$ de $6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]$

Paso 16

Cancela los factores comunes.

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Paso 16.1

Factoriza $2$ de $2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}))}{2 ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [5 x + 3]$

Paso 16.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]$

Paso 16.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]$

Paso 17

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 18

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 19

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 20

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 21

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 + 0)$

Paso 22

Combina fracciones.

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Paso 22.1

Suma $5$ y $0$ .

$\frac{3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 5$

Paso 22.2

Combina $\frac{3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ y $5$ .

$\frac{3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cdot 5}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22.3

Simplifica la expresión.

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Paso 22.3.1

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{15 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22.3.2

Reordena los términos.

$\frac{15 \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$