Cálculo Ejemplos

$f (x) = 600 + \sqrt{200 + 25 x^{2} - x}$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $600 + \sqrt{200 + 25 x^{2} - x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [600] + \frac{d}{d x} [\sqrt{200 + 25 x^{2} - x}]$ .

$\frac{d}{d x} [600] + \frac{d}{d x} [\sqrt{200 + 25 x^{2} - x}]$

Paso 1.2

Como $600$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $600$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sqrt{200 + 25 x^{2} - x}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{200 + 25 x^{2} - x}]$ .

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{200 + 25 x^{2} - x}$ como ${(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [{(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 200 + 25 x^{2} - x$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $200 + 25 x^{2} - x$ .

$0 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [200 + 25 x^{2} - x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [200 + 25 x^{2} - x]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $200 + 25 x^{2} - x$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [200 + 25 x^{2} - x]$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $200 + 25 x^{2} - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [200] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [200] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.4

Como $200$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $200$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.5

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25 x^{2}$ con respecto a $x$ es $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 25 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 25 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 25 (2 x) - \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 25 (2 x) - 1 \cdot 1)$

Paso 2.9

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 25 (2 x) - 1 \cdot 1)$

Paso 2.10

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 25 (2 x) - 1 \cdot 1)$

Paso 2.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 25 (2 x) - 1 \cdot 1)$

Paso 2.12

Simplifica el numerador.

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Paso 2.12.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 25 (2 x) - 1 \cdot 1)$

Paso 2.12.2

Resta $2$ de $1$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 25 (2 x) - 1 \cdot 1)$

Paso 2.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 25 (2 x) - 1 \cdot 1)$

Paso 2.14

Multiplica $2$ por $25$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 50 x - 1 \cdot 1)$

Paso 2.15

Suma $0$ y $50 x$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{- \frac{1}{2}} (50 x - 1 \cdot 1)$

Paso 2.16

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{- \frac{1}{2}} (50 x - 1)$

Paso 2.17

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(200 + 25 x^{2} - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{{(200 + 25 x^{2} - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (50 x - 1)$

Paso 2.18

Mueve ${(200 + 25 x^{2} - x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{2 {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} (50 x - 1)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Suma $0$ y $\frac{1}{2 {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} (50 x - 1)$ .

$\frac{1}{2 {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} (50 x - 1)$

Paso 3.2

Reordena los factores de $\frac{1}{2 {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} (50 x - 1)$ .

$(50 x - 1) \frac{1}{2 {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.3

Multiplica $50 x - 1$ por $\frac{1}{2 {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{50 x - 1}{2 {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}}$