Cálculo Ejemplos

$f (x) = 8 + \sqrt{520 x - 2 x^{2}}$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 + \sqrt{520 x - 2 x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [\sqrt{520 x - 2 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [\sqrt{520 x - 2 x^{2}}]$

Paso 1.2

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sqrt{520 x - 2 x^{2}}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{520 x - 2 x^{2}}]$ .

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{520 x - 2 x^{2}}$ como ${(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [{(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 520 x - 2 x^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $520 x - 2 x^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [520 x - 2 x^{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [520 x - 2 x^{2}]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $520 x - 2 x^{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [520 x - 2 x^{2}]$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $520 x - 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [520 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [520 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Paso 2.4

Como $520$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $520 x$ con respecto a $x$ es $520 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (520 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (520 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Paso 2.6

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (520 \cdot 1 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (520 \cdot 1 - 2 (2 x))$

Paso 2.8

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (520 \cdot 1 - 2 (2 x))$

Paso 2.9

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (520 \cdot 1 - 2 (2 x))$

Paso 2.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (520 \cdot 1 - 2 (2 x))$

Paso 2.11

Simplifica el numerador.

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Paso 2.11.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (520 \cdot 1 - 2 (2 x))$

Paso 2.11.2

Resta $2$ de $1$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (520 \cdot 1 - 2 (2 x))$

Paso 2.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (520 \cdot 1 - 2 (2 x))$

Paso 2.13

Multiplica $520$ por $1$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (520 - 2 (2 x))$

Paso 2.14

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (520 - 4 x)$

Paso 2.15

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(520 x - 2 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{{(520 x - 2 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (520 - 4 x)$

Paso 2.16

Mueve ${(520 x - 2 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (520 - 4 x)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Suma $0$ y $\frac{1}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (520 - 4 x)$ .

$\frac{1}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (520 - 4 x)$

Paso 3.2

Reordena los factores de $\frac{1}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (520 - 4 x)$ .

$(520 - 4 x) \frac{1}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.3

Multiplica $520 - 4 x$ por $\frac{1}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{520 - 4 x}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.4

Factoriza $2$ de $520$ .

$\frac{2 \cdot 260 - 4 x}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.5

Factoriza $2$ de $- 4 x$ .

$\frac{2 \cdot 260 + 2 (- 2 x)}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.6

Factoriza $2$ de $2 (260) + 2 (- 2 x)$ .

$\frac{2 (260 - 2 x)}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.7

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.7.1

Factoriza $2$ de $2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (260 - 2 x)}{2 ({(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 3.7.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (260 - 2 x)}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.7.3

Reescribe la expresión.

$\frac{260 - 2 x}{{(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.8

Factoriza $2$ de $260 - 2 x$ .

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Paso 3.8.1

Factoriza $2$ de $260$ .

$\frac{2 (130) - 2 x}{{(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.8.2

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (130) + 2 (- x)}{{(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.8.3

Factoriza $2$ de $2 (130) + 2 (- x)$ .

$\frac{2 (130 - x)}{{(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$