Cálculo Ejemplos

$f (x) = 8 \ln ({(x)}^{\frac{7}{2}})$

Paso 1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 \ln (x^{\frac{7}{2}})$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{7}{2}})]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{7}{2}})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{\frac{7}{2}}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{7}{2}}$ .

$8 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}])$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$8 (\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}}$ y $8$ .

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{7}{2}$ .

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1})$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}})$

Paso 7.2

Resta $2$ de $7$ .

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}})$

Paso 8

Combina $\frac{7}{2}$ y $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$

Paso 9

Multiplica $\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}}$ por $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ .

$\frac{8 (7 x^{\frac{5}{2}})}{x^{\frac{7}{2}} \cdot 2}$

Paso 10

Simplifica la expresión.

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Paso 10.1

Multiplica $7$ por $8$ .

$\frac{56 x^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{7}{2}} \cdot 2}$

Paso 10.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{56 x^{\frac{5}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{7}{2}}}$

Paso 10.3

Mueve $x^{\frac{5}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{56}{2 x^{\frac{7}{2}} x^{- \frac{5}{2}}}$

Paso 11

Simplifica el denominador.

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Paso 11.1

Multiplica $x^{\frac{7}{2}}$ por $x^{- \frac{5}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 11.1.1

Mueve $x^{- \frac{5}{2}}$ .

$\frac{56}{2 (x^{- \frac{5}{2}} x^{\frac{7}{2}})}$

Paso 11.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{56}{2 x^{- \frac{5}{2} + \frac{7}{2}}}$

Paso 11.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{56}{2 x^{\frac{- 5 + 7}{2}}}$

Paso 11.1.4

Suma $- 5$ y $7$ .

$\frac{56}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

Paso 11.1.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{56}{2 x^{1}}$

Paso 11.2

Simplifica $2 x^{1}$ .

$\frac{56}{2 x}$

Paso 12

Cancela el factor común de $56$ y $2$ .

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Paso 12.1

Factoriza $2$ de $56$ .

$\frac{2 \cdot 28}{2 x}$

Paso 12.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 \cdot 28}{2 (x)}$

Paso 12.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 28}{2 x}$

Paso 12.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{28}{x}$