Cálculo Ejemplos

$f (x) = 7 x^{4} x^{\frac{1}{2}} + (- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}})$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x^{4} x^{\frac{1}{2}} + (- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}})$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x^{4} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{4} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 x^{4} x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Paso 2.1

Multiplica $x^{4}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [7 (x^{\frac{1}{2}} x^{4})] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Paso 2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2} + 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Paso 2.1.3

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Paso 2.1.4

Combina $4$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Paso 2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1 + 4 \cdot 2}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Paso 2.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.6.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1 + 8}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Paso 2.1.6.2

Suma $1$ y $8$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{9}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Paso 2.2

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x^{\frac{9}{2}}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{2}}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{9}{2}$ .

$7 (\frac{9}{2} x^{\frac{9}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Paso 2.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$7 (\frac{9}{2} x^{\frac{9}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Paso 2.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$7 (\frac{9}{2} x^{\frac{9}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Paso 2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$7 (\frac{9}{2} x^{\frac{9 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Paso 2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$7 (\frac{9}{2} x^{\frac{9 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Paso 2.7.2

Resta $2$ de $9$ .

$7 (\frac{9}{2} x^{\frac{7}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Paso 2.8

Combina $\frac{9}{2}$ y $x^{\frac{7}{2}}$ .

$7 \frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Paso 2.9

Combina $7$ y $\frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{2}$ .

$\frac{7 (9 x^{\frac{7}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Paso 2.10

Multiplica $9$ por $7$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$ .

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Paso 3.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{0.5}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2 + 0.5}}]$

Paso 3.1.2

Suma $2$ y $0.5$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2.5}}]$

Paso 3.2

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{8}{x^{2.5}}$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2.5}}]$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2.5}}]$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{1}{x^{2.5}}$ como ${(x^{2.5})}^{- 1}$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 \frac{d}{d x} [{(x^{2.5})}^{- 1}]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2.5}$ .

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Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2.5}$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2.5}])$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2.5}])$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2.5}$ .

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Paso 3.4.3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (- {(x^{2 + 0.5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2.5}])$

Paso 3.4.3.2

Suma $2$ y $0.5$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (- {(x^{2.5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2.5}])$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2.5$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (- {(x^{2.5})}^{- 2} (2.5 x^{1.5}))$

Paso 3.6

Multiplica los exponentes en ${(x^{2.5})}^{- 2}$ .

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Paso 3.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (- x^{2.5 \cdot - 2} (2.5 x^{1.5}))$

Paso 3.6.2

Multiplica $2.5$ por $- 2$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (- x^{- 5} (2.5 x^{1.5}))$

Paso 3.7

Multiplica $2.5$ por $- 1$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (- 2.5 x^{- 5} x^{1.5})$

Paso 3.8

Multiplica $x^{- 5}$ por $x^{1.5}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.8.1

Mueve $x^{1.5}$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (- 2.5 (x^{1.5} x^{- 5}))$

Paso 3.8.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (- 2.5 x^{1.5 - 5})$

Paso 3.8.3

Resta $5$ de $1.5$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (- 2.5 x^{- 3.5})$

Paso 3.9

Multiplica $- 2.5$ por $- 8$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} + 20 x^{- 3.5}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} + 20 \frac{1}{x^{3.5}}$

Paso 4.2

Combina $20$ y $\frac{1}{x^{3.5}}$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{20}{x^{3.5}}$