Cálculo Ejemplos

$f (x) = 5 \sec^{2} (π x - 4)$

Paso 1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 \sec^{2} (π x - 4)$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (π x - 4)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (π x - 4)]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sec (π x - 4)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sec (π x - 4)$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (π x - 4)])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (π x - 4)])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sec (π x - 4)$ .

$5 (2 \sec (π x - 4) \frac{d}{d x} [\sec (π x - 4)])$

Paso 3

Multiplica $2$ por $5$ .

$10 (\sec (π x - 4) \frac{d}{d x} [\sec (π x - 4)])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = π x - 4$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $π x - 4$ .

$10 \sec (π x - 4) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x - 4])$

Paso 4.2

La derivada de $\sec (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$10 \sec (π x - 4) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x - 4])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $π x - 4$ .

$10 \sec (π x - 4) (\sec (π x - 4) \tan (π x - 4) \frac{d}{d x} [π x - 4])$

Paso 5

Eleva $\sec (π x - 4)$ a la potencia de $1$ .

$10 (\sec^{1} (π x - 4) \sec (π x - 4)) (\tan (π x - 4) \frac{d}{d x} [π x - 4])$

Paso 6

Eleva $\sec (π x - 4)$ a la potencia de $1$ .

$10 (\sec^{1} (π x - 4) \sec^{1} (π x - 4)) (\tan (π x - 4) \frac{d}{d x} [π x - 4])$

Paso 7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$10 {\sec (π x - 4)}^{1 + 1} (\tan (π x - 4) \frac{d}{d x} [π x - 4])$

Paso 8

Suma $1$ y $1$ .

$10 \sec^{2} (π x - 4) (\tan (π x - 4) \frac{d}{d x} [π x - 4])$

Paso 9

Según la regla de la suma, la derivada de $π x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$10 \sec^{2} (π x - 4) \tan (π x - 4) (\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 10

Como $π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $π x$ con respecto a $x$ es $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 \sec^{2} (π x - 4) \tan (π x - 4) (π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$10 \sec^{2} (π x - 4) \tan (π x - 4) (π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 12

Multiplica $π$ por $1$ .

$10 \sec^{2} (π x - 4) \tan (π x - 4) (π + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 13

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$10 \sec^{2} (π x - 4) \tan (π x - 4) (π + 0)$

Paso 14

Simplifica la expresión.

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Paso 14.1

Suma $π$ y $0$ .

$10 \sec^{2} (π x - 4) \tan (π x - 4) π$

Paso 14.2

Reordena los factores de $10 \sec^{2} (π x - 4) \tan (π x - 4) π$ .

$10 π \sec^{2} (π x - 4) \tan (π x - 4)$