Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 arccsc (10 x^{- 1})$

Paso 1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 arccsc (10 x^{- 1})$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [arccsc (10 x^{- 1})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [arccsc (10 x^{- 1})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = arccsc (x)$ y $g (x) = 10 x^{- 1}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $10 x^{- 1}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [arccsc (u)] \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

Paso 2.2

La derivada de $arccsc (u)$ con respecto a $u$ es $- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$4 (- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $10 x^{- 1}$ .

$4 (- \frac{1}{10 x^{- 1} \sqrt{{(10 x^{- 1})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Factoriza $10$ de $10 x^{- 1}$ .

$4 (- \frac{1}{10 x^{- 1} \sqrt{{(10 (x^{- 1}))}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

Paso 3.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $10 (x^{- 1})$ .

$4 (- \frac{1}{10 x^{- 1} \sqrt{10^{2} {(x^{- 1})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

Paso 3.2.1.2

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$4 (- \frac{1}{10 x^{- 1} \sqrt{100 {(x^{- 1})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

Paso 3.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{- 1})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (- \frac{1}{10 x^{- 1} \sqrt{100 x^{- 1 \cdot 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

Paso 3.2.1.3.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$4 (- \frac{1}{10 x^{- 1} \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

Paso 3.2.1.4

Mueve $x^{- 1}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$4 (- \frac{x}{10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

Paso 3.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 4 (\frac{x}{10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

Paso 3.2.2

Combina $\frac{x}{10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$ y $- 4$ .

$\frac{x \cdot - 4}{10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

Paso 3.2.3

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{- 4 \cdot x}{10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

Paso 3.2.4

Cancela el factor común de $- 4$ y $10$ .

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Paso 3.2.4.1

Factoriza $2$ de $- 4 x$ .

$\frac{2 (- 2 x)}{10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

Paso 3.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}$ .

$\frac{2 (- 2 x)}{2 (5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1})} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

Paso 3.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 2 x)}{2 (5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1})} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

Paso 3.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2 x}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

Paso 3.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 x}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

Paso 3.3

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$- \frac{2 x}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} (10 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Paso 3.4

Simplifica los términos.

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Paso 3.4.1

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$- 10 \frac{2 x}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 3.4.2

Combina $- 10$ y $\frac{2 x}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$ .

$\frac{- 10 (2 x)}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 3.4.3

Multiplica $2$ por $- 10$ .

$\frac{- 20 x}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 3.4.4

Cancela el factor común de $- 20$ y $5$ .

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Paso 3.4.4.1

Factoriza $5$ de $- 20 x$ .

$\frac{5 (- 4 x)}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 3.4.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.4.2.1

Factoriza $5$ de $5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}$ .

$\frac{5 (- 4 x)}{5 (\sqrt{100 x^{- 2} - 1})} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 3.4.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 (- 4 x)}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 3.4.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 3.4.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- \frac{4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}} (- x^{- 2})$

Paso 3.6

Combina fracciones.

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Paso 3.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}} x^{- 2}$

Paso 3.6.2

Multiplica $\frac{4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$ por $1$ .

$\frac{4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}} x^{- 2}$

Paso 3.6.3

Combina $\frac{4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$ y $x^{- 2}$ .

$\frac{4 x \cdot x^{- 2}}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$

Paso 4

Multiplica $x$ por $x^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $x^{- 2}$ .

$\frac{4 (x^{- 2} x)}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$

Paso 4.2

Multiplica $x^{- 2}$ por $x$ .

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Paso 4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 (x^{- 2} x^{1})}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$

Paso 4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 x^{- 2 + 1}}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$

Paso 4.3

Suma $- 2$ y $1$ .

$\frac{4 x^{- 1}}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$

Paso 5

Mueve $x^{- 1}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1} x}$

Paso 6

Reordena los términos.

$\frac{4}{x \sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$