Cálculo Ejemplos

$f (x) = - 4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x) \cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x) \cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x) \cos^{3} (x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 \sin (x) \cos^{3} (x)$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos^{3} (x)]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \cos^{3} (x)$ .

$- 4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)] + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\cos (x)$ .

$- 4 (\sin (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 4 (\sin (x) (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\cos (x)$ .

$- 4 (\sin (x) (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Paso 2.4

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- 4 (\sin (x) (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x))) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Paso 2.5

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$- 4 (\sin (x) (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x))) + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Paso 2.6

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 4 (\sin (x) (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Paso 2.7

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Paso 2.8

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Paso 2.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Paso 2.10

Suma $1$ y $1$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Paso 2.11

Multiplica $\cos^{3} (x)$ por $\cos (x)$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.11.1

Multiplica $\cos^{3} (x)$ por $\cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.11.1.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{3} (x) \cos^{1} (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Paso 2.11.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{3 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Paso 2.11.2

Suma $3$ y $1$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x) \cos (x)]$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x) \cos (x)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin^{3} (x)$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)])$

Paso 3.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\sin (x)$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sin (x)$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Paso 3.5

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

Paso 3.6

Multiplica $\sin^{3} (x)$ por $\sin (x)$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.1

Mueve $\sin (x)$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin (x) \sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

Paso 3.6.2

Multiplica $\sin (x)$ por $\sin^{3} (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.2.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{1} (x) \sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

Paso 3.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 ({\sin (x)}^{1 + 3} \cdot - 1 + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

Paso 3.6.3

Suma $1$ y $3$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{4} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

Paso 3.7

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\sin^{4} (x)$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- 1 \cdot \sin^{4} (x) + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

Paso 3.8

Reescribe $- 1 \sin^{4} (x)$ como $- \sin^{4} (x)$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- \sin^{4} (x) + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

Paso 3.9

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- \sin^{4} (x) + 3 \sin^{2} (x) (\cos^{1} (x) \cos (x)))$

Paso 3.10

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- \sin^{4} (x) + 3 \sin^{2} (x) (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)))$

Paso 3.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- \sin^{4} (x) + 3 \sin^{2} (x) {\cos (x)}^{1 + 1})$

Paso 3.12

Suma $1$ y $1$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- \sin^{4} (x) + 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

Paso 4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)) - 4 \cos^{4} (x) - 4 (- \sin^{4} (x) + 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)) - 4 \cos^{4} (x) - 4 (- \sin^{4} (x)) - 4 (3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

Paso 4.3

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Multiplica $- 3$ por $- 4$ .

$12 (\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)) - 4 \cos^{4} (x) - 4 (- \sin^{4} (x)) - 4 (3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

Paso 4.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos^{4} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 4 (3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

Paso 4.3.3

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos^{4} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 12 (\sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

Paso 4.3.4

Reordena los factores de $- 12 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos^{4} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Paso 4.3.5

Resta $12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ de $12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ .

$0 - 4 \cos^{4} (x) + 4 \sin^{4} (x)$

Paso 4.3.6

Resta $4 \cos^{4} (x)$ de $0$ .

$- 4 \cos^{4} (x) + 4 \sin^{4} (x)$

Paso 4.4

Reescribe $4 \sin^{4} (x)$ como ${(2 \sin^{2} (x))}^{2}$ .

$- 4 \cos^{4} (x) + {(2 \sin^{2} (x))}^{2}$

Paso 4.5

Reescribe $4 \cos^{4} (x)$ como ${(2 \cos^{2} (x))}^{2}$ .

$- {(2 \cos^{2} (x))}^{2} + {(2 \sin^{2} (x))}^{2}$

Paso 4.6

Reordena $- {(2 \cos^{2} (x))}^{2}$ y ${(2 \sin^{2} (x))}^{2}$ .

${(2 \sin^{2} (x))}^{2} - {(2 \cos^{2} (x))}^{2}$

Paso 4.7

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 \sin^{2} (x)$ y $b = 2 \cos^{2} (x)$ .

$(2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)) (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

Paso 4.8

Factoriza $2$ de $2 \sin^{2} (x)$ .

$(2 (\sin^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x)) (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

Paso 4.9

Factoriza $2$ de $2 \cos^{2} (x)$ .

$(2 (\sin^{2} (x)) + 2 (\cos^{2} (x))) (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

Paso 4.10

Factoriza $2$ de $2 (\sin^{2} (x)) + 2 (\cos^{2} (x))$ .

$2 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

Paso 4.11

Aplica la identidad pitagórica.

$2 \cdot 1 (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

Paso 4.12

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

Paso 4.13

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 (2 \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x))$

Paso 4.14

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (2 \sin^{2} (x)) + 2 (- 2 \cos^{2} (x))$

Paso 4.15

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 \sin^{2} (x) + 2 (- 2 \cos^{2} (x))$

Paso 4.16

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x)$