Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 - x^{2} - \ln (\frac{1}{2} x + 1)$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - x^{2} - \ln (\frac{1}{2} x + 1)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$

Paso 1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - (2 x) + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$

Paso 2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 x + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$ .

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$0 - 2 x + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{x}{2} + 1)]$

Paso 3.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \ln (\frac{x}{2} + 1)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2} + 1)]$ .

$0 - 2 x - \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2} + 1)]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \frac{x}{2} + 1$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{2} + 1$ .

$0 - 2 x - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + 1])$

Paso 3.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + 1])$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{2} + 1$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + 1])$

Paso 3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x}{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} (\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 3.5

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 3.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} (\frac{1}{2} \cdot 1 + 0))$

Paso 3.8

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} (\frac{1}{2} + 0))$

Paso 3.9

Suma $\frac{1}{2}$ y $0$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 3.10

Multiplica $\frac{1}{\frac{x}{2} + 1}$ por $\frac{1}{2}$ .

$0 - 2 x - \frac{1}{(\frac{x}{2} + 1) \cdot 2}$

Paso 3.11

Mueve $2$ a la izquierda de $\frac{x}{2} + 1$ .

$0 - 2 x - \frac{1}{2 (\frac{x}{2} + 1)}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$0 - 2 x - \frac{1}{2 \frac{x}{2} + 2 \cdot 1}$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Resta $2 x$ de $0$ .

$- 2 x - \frac{1}{2 \frac{x}{2} + 2 \cdot 1}$

Paso 4.2.2

Combina $2$ y $\frac{x}{2}$ .

$- 2 x - \frac{1}{\frac{2 x}{2} + 2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.3.1

Cancela el factor común.

$- 2 x - \frac{1}{\frac{2 x}{2} + 2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.2

Divide $x$ por $1$ .

$- 2 x - \frac{1}{x + 2 \cdot 1}$

Paso 4.2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 2 x - \frac{1}{x + 2}$

Paso 4.2.5

Para escribir $- 2 x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$- 2 x \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{1}{x + 2}$

Paso 4.2.6

Combina $- 2 x$ y $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{- 2 x (x + 2)}{x + 2} - \frac{1}{x + 2}$

Paso 4.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 2 x (x + 2) - 1}{x + 2}$

Paso 4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 - 1}{x + 2}$

Paso 4.3.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 2 - 1}{x + 2}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x \cdot 2 - 1}{x + 2}$

Paso 4.3.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 4 x - 1}{x + 2}$

Paso 4.4

Factoriza $- 1$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{- (2 x^{2}) - 4 x - 1}{x + 2}$

Paso 4.5

Factoriza $- 1$ de $- 4 x$ .

$\frac{- (2 x^{2}) - (4 x) - 1}{x + 2}$

Paso 4.6

Factoriza $- 1$ de $- (2 x^{2}) - (4 x)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + 4 x) - 1}{x + 2}$

Paso 4.7

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + 4 x) - 1 (1)}{x + 2}$

Paso 4.8

Factoriza $- 1$ de $- (2 x^{2} + 4 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + 4 x + 1)}{x + 2}$

Paso 4.9

Reescribe $- (2 x^{2} + 4 x + 1)$ como $- 1 (2 x^{2} + 4 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (2 x^{2} + 4 x + 1)}{x + 2}$

Paso 4.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 x^{2} + 4 x + 1}{x + 2}$