Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 x^{2} \sqrt{3 x - 8}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 x - 8}$ como ${(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2} {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2} {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}] + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 3 x - 8$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x - 8$ .

$4 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x - 8$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(3 x - 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(3 x - 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(3 x - 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 8

Combina fracciones.

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Paso 8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(3 x - 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(3 x - 8)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (x^{2} (\frac{{(3 x - 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 8.3

Mueve ${(3 x - 8)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 8.4

Combina $\frac{1}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 8] + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 9

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 10

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 12

Multiplica $3$ por $1$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} (3 + \frac{d}{d x} [- 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 13

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} (3 + 0) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 14

Combina fracciones.

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Paso 14.1

Suma $3$ y $0$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 3 + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 14.2

Combina $\frac{x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$ y $3$ .

$4 (\frac{x^{2} \cdot 3}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 14.3

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$4 (\frac{3 \cdot x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 (\frac{3 x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} (2 x))$

Paso 16

Mueve $2$ a la izquierda de ${(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{3 x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} x)$

Paso 17

Combina $\frac{3 x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$ y $2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} x$ mediante un denominador común.

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Paso 17.1

Mueve ${(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{3 x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 17.2

Para escribir $2 x {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (\frac{3 x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 17.3

Combina $2 x {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (\frac{3 x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 17.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 \frac{3 x^{2} + 2 x {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 18

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 4 x {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 19

Multiplica ${(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 19.1

Mueve ${(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 4 x ({(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 19.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 \frac{3 x^{2} + 4 x {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 19.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 \frac{3 x^{2} + 4 x {(3 x - 8)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 19.4

Suma $1$ y $1$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 4 x {(3 x - 8)}^{\frac{2}{2}}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 19.5

Divide $2$ por $2$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 4 x {(3 x - 8)}^{1}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 20

Simplifica $4 x {(3 x - 8)}^{1}$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 4 x (3 x - 8)}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 21

Combina $4$ y $\frac{3 x^{2} + 4 x (3 x - 8)}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 (3 x^{2} + 4 x (3 x - 8))}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22

Factoriza $2$ de $4 (3 x^{2} + 4 x (3 x - 8))$ .

$\frac{2 (2 (3 x^{2} + 4 x (3 x - 8)))}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 23

Cancela los factores comunes.

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Paso 23.1

Factoriza $2$ de $2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 (3 x^{2} + 4 x (3 x - 8)))}{2 ({(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 23.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 (3 x^{2} + 4 x (3 x - 8)))}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 23.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (3 x^{2} + 4 x (3 x - 8))}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24

Simplifica.

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Paso 24.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (3 x^{2} + 4 x (3 x) + 4 x \cdot - 8)}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 (4 x (3 x)) + 2 (4 x \cdot - 8)}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24.3

Simplifica el numerador.

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Paso 24.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 24.3.1.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 x^{2} + 2 (4 x (3 x)) + 2 (4 x \cdot - 8)}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 24.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{6 x^{2} + 2 (4 (x \cdot x) \cdot 3) + 2 (4 x \cdot - 8)}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{6 x^{2} + 2 (4 x^{2} \cdot 3) + 2 (4 x \cdot - 8)}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24.3.1.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{6 x^{2} + 2 (12 x^{2}) + 2 (4 x \cdot - 8)}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24.3.1.4

Multiplica $12$ por $2$ .

$\frac{6 x^{2} + 24 x^{2} + 2 (4 x \cdot - 8)}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24.3.1.5

Multiplica $- 8$ por $4$ .

$\frac{6 x^{2} + 24 x^{2} + 2 (- 32 x)}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24.3.1.6

Multiplica $- 32$ por $2$ .

$\frac{6 x^{2} + 24 x^{2} - 64 x}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24.3.2

Suma $6 x^{2}$ y $24 x^{2}$ .

$\frac{30 x^{2} - 64 x}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24.4

Factoriza $2 x$ de $30 x^{2} - 64 x$ .

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Paso 24.4.1

Factoriza $2 x$ de $30 x^{2}$ .

$\frac{2 x (15 x) - 64 x}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24.4.2

Factoriza $2 x$ de $- 64 x$ .

$\frac{2 x (15 x) + 2 x (- 32)}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24.4.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (15 x) + 2 x (- 32)$ .

$\frac{2 x (15 x - 32)}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$