Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 x^{2} \sqrt{x^{2} - 1}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} - 1}$ como ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 1$ .

$4 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 1$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 8

Combina fracciones.

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Paso 8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (x^{2} (\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 8.3

Mueve ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 8.4

Combina $\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 9

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 11

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 12

Combina fracciones.

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Paso 12.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 12.2

Combina $2$ y $\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 12.3

Combina $\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$4 (\frac{2 x^{2} x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 13

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$4 (\frac{2 (x^{1} x^{2})}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 14

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 (\frac{2 x^{1 + 2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 15

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 15.1

Suma $1$ y $2$ .

$4 (\frac{2 x^{3}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 15.2

Cancela el factor común.

$4 (\frac{2 x^{3}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 15.3

Reescribe la expresión.

$4 (\frac{x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 16

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 (\frac{x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x))$

Paso 17

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x)$

Paso 18

Combina $\frac{x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x$ mediante un denominador común.

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Paso 18.1

Mueve ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 18.2

Para escribir $2 x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 18.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 \frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 19

Multiplica ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 19.1

Mueve ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{x^{3} + 2 x ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 19.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 \frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 19.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 \frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 19.4

Suma $1$ y $1$ .

$4 \frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 19.5

Divide $2$ por $2$ .

$4 \frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} - 1)}^{1}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 20

Simplifica $2 x {(x^{2} - 1)}^{1}$ .

$4 \frac{x^{3} + 2 x (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 21

Combina $4$ y $\frac{x^{3} + 2 x (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 (x^{3} + 2 x (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22

Simplifica.

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Paso 22.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (x^{3} + 2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{3} + 4 (2 x \cdot x^{2}) + 4 (2 x \cdot - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22.3

Simplifica el numerador.

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Paso 22.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 22.3.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 22.3.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 (2 (x^{2} x)) + 4 (2 x \cdot - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22.3.1.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 22.3.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 (2 (x^{2} x^{1})) + 4 (2 x \cdot - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22.3.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 x^{3} + 4 (2 x^{2 + 1}) + 4 (2 x \cdot - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22.3.1.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 (2 x^{3}) + 4 (2 x \cdot - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22.3.1.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{4 x^{3} + 8 x^{3} + 4 (2 x \cdot - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{4 x^{3} + 8 x^{3} + 4 (- 2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22.3.1.4

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$\frac{4 x^{3} + 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22.3.2

Suma $4 x^{3}$ y $8 x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22.4

Factoriza $4 x$ de $12 x^{3} - 8 x$ .

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Paso 22.4.1

Factoriza $4 x$ de $12 x^{3}$ .

$\frac{4 x (3 x^{2}) - 8 x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22.4.2

Factoriza $4 x$ de $- 8 x$ .

$\frac{4 x (3 x^{2}) + 4 x (- 2)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22.4.3

Factoriza $4 x$ de $4 x (3 x^{2}) + 4 x (- 2)$ .

$\frac{4 x (3 x^{2} - 2)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$