Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{3 x (1 - e^{x})}{1 + e^{x}}$

Paso 1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 x (1 - e^{x})}{1 + e^{x}}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\frac{x (1 - e^{x})}{1 + e^{x}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x (1 - e^{x})}{1 + e^{x}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x (1 - e^{x})$ y $g (x) = 1 + e^{x}$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [x (1 - e^{x})] - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 1 - e^{x}$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x \frac{d}{d x} [1 - e^{x}] + (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [x]) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) + (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [x]) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 4.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) + (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [x]) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 4.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x \frac{d}{d x} [- e^{x}] + (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [x]) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 4.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (- \frac{d}{d x} [e^{x}]) + (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [x]) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 5

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [x]) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 6

Diferencia.

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Paso 6.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + (1 - e^{x}) \cdot 1) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.2

Multiplica $1 - e^{x}$ por $1$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) - x (1 - e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) - x (1 - e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 7

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) - x (1 - e^{x}) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 8

Combina $3$ y $\frac{(1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) - x (1 - e^{x}) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$ .

$\frac{3 ((1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) - x (1 - e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 ((1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) + (- x \cdot 1 - x (- e^{x})) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 ((1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) - x \cdot 1 e^{x} - x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 ((1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.4

Simplifica el numerador.

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Paso 9.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.4.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{3 ((1 + e^{x}) (- x e^{x} + 1 - e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.4.1.2

Expande $(1 + e^{x}) (- x e^{x} + 1 - e^{x})$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{3 (1 (- x e^{x}) + 1 \cdot 1 + 1 (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.4.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 9.4.1.3.1

Multiplica $- x e^{x}$ por $1$ .

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 \cdot 1 + 1 (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.4.1.3.2

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 + 1 (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.4.1.3.3

Multiplica $- e^{x}$ por $1$ .

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.4.1.3.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{x} (x e^{x}) + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.4.1.3.5

Multiplica $e^{x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 9.4.1.3.5.1

Mueve $e^{x}$ .

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - (e^{x} e^{x}) x + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.4.1.3.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{x + x} x + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.4.1.3.5.3

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.4.1.3.6

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.4.1.3.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} - e^{x} e^{x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.4.1.3.8

Multiplica $e^{x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 9.4.1.3.8.1

Mueve $e^{x}$ .

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} - (e^{x} e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.4.1.3.8.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} - e^{x + x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.4.1.3.8.3

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} - e^{2 x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.4.1.4

Combina los términos opuestos en $- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} - e^{2 x}$ .

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Paso 9.4.1.4.1

Suma $- e^{x}$ y $e^{x}$ .

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{2 x} x + 0 - e^{2 x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.4.1.4.2

Suma $- x e^{x} + 1 - e^{2 x} x$ y $0$ .

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{2 x} x - e^{2 x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.4.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (- x e^{x}) + 3 \cdot 1 + 3 (- e^{2 x} x) + 3 (- e^{2 x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.4.1.6

Simplifica.

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Paso 9.4.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{- 3 (x e^{x}) + 3 \cdot 1 + 3 (- e^{2 x} x) + 3 (- e^{2 x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.4.1.6.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{- 3 (x e^{x}) + 3 + 3 (- e^{2 x} x) + 3 (- e^{2 x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.4.1.6.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{- 3 (x e^{x}) + 3 - 3 (e^{2 x} x) + 3 (- e^{2 x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.4.1.6.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{- 3 (x e^{x}) + 3 - 3 (e^{2 x} x) - 3 e^{2 x} + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.4.1.7

Elimina los paréntesis.

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.4.1.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} + 3 (- x e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.4.1.9

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 (x e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.4.1.10

Multiplica $e^{x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 9.4.1.10.1

Mueve $e^{x}$ .

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x} + 3 (- x (- (e^{x} e^{x})))}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.4.1.10.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x} + 3 (- x (- e^{x + x}))}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.4.1.10.3

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x} + 3 (- x (- e^{2 x}))}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.4.1.11

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x} + 3 (- 1 \cdot - 1 x e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.4.1.12

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x} + 3 (1 x e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.4.1.13

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x} + 3 x e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.4.2

Combina los términos opuestos en $- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x} + 3 x e^{2 x}$ .

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Paso 9.4.2.1

Reordena los factores en los términos $- 3 e^{2 x} x$ y $3 x e^{2 x}$ .

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x} + 3 e^{2 x} x}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.4.2.2

Suma $- 3 e^{2 x} x$ y $3 e^{2 x} x$ .

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 + 0 - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.4.2.3

Suma $- 3 x e^{x} + 3$ y $0$ .

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.4.3

Resta $3 x e^{x}$ de $- 3 x e^{x}$ .

$\frac{- 6 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.5

Reordena los términos.

$\frac{- 6 e^{x} x + 3 - 3 e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.6

Factoriza $3$ de $- 6 e^{x} x + 3 - 3 e^{2 x}$ .

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Paso 9.6.1

Factoriza $3$ de $- 6 e^{x} x$ .

$\frac{3 (- 2 e^{x} x) + 3 - 3 e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.6.2

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (- 2 e^{x} x) + 3 (1) - 3 e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.6.3

Factoriza $3$ de $- 3 e^{2 x}$ .

$\frac{3 (- 2 e^{x} x) + 3 (1) + 3 (- e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.6.4

Factoriza $3$ de $3 (- 2 e^{x} x) + 3 (1)$ .

$\frac{3 (- 2 e^{x} x + 1) + 3 (- e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.6.5

Factoriza $3$ de $3 (- 2 e^{x} x + 1) + 3 (- e^{2 x})$ .

$\frac{3 (- 2 e^{x} x + 1 - e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.7

Factoriza $- 1$ de $- 2 e^{x} x$ .

$\frac{3 (- (2 e^{x} x) + 1 - e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.8

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{3 (- (2 e^{x} x) - 1 (- 1) - e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.9

Factoriza $- 1$ de $- (2 e^{x} x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{3 (- (2 e^{x} x - 1) - e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.10

Factoriza $- 1$ de $- e^{2 x}$ .

$\frac{3 (- (2 e^{x} x - 1) - (e^{2 x}))}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.11

Factoriza $- 1$ de $- (2 e^{x} x - 1) - (e^{2 x})$ .

$\frac{3 (- (2 e^{x} x - 1 + e^{2 x}))}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.12

Reescribe $- (2 e^{x} x - 1 + e^{2 x})$ como $- 1 (2 e^{x} x - 1 + e^{2 x})$ .

$\frac{3 (- 1 (2 e^{x} x - 1 + e^{2 x}))}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 (2 e^{x} x - 1 + e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 9.14

Reordena los factores en $- \frac{3 (2 e^{x} x - 1 + e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$ .

$- \frac{3 (2 x e^{x} - 1 + e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$