Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 \log_{7} (\sqrt{x} - 2)$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 \log_{7} (x^{\frac{1}{2}} - 2)]$

Paso 1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 \log_{7} (x^{\frac{1}{2}} - 2)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\log_{7} (x^{\frac{1}{2}} - 2)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\log_{7} (x^{\frac{1}{2}} - 2)]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \log_{7} (x)$ y $g (x) = x^{\frac{1}{2}} - 2$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{1}{2}} - 2$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\log_{7} (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 2])$

Paso 2.2

La derivada de $\log_{7} (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u \ln (7)}$ .

$4 (\frac{1}{u \ln (7)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 2])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{2}} - 2$ .

$4 (\frac{1}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 2])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)}$ y $4$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 2]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{\frac{1}{2}} - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 8

Combina fracciones.

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Paso 8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 8.3

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 9

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Paso 10

Simplifica los términos.

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Paso 10.1

Suma $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.2

Multiplica $\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)}$ por $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7) (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Paso 10.3

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7) (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Paso 11

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.1

Factoriza $2$ de $(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7) (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 ((x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7) (x^{\frac{1}{2}}))}$

Paso 11.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2}{2 ((x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7) (x^{\frac{1}{2}}))}$

Paso 11.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7) (x^{\frac{1}{2}})}$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2}{(x^{\frac{1}{2}} \ln (7) - 2 \ln (7)) x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} \ln (7) x^{\frac{1}{2}} - 2 \ln (7) x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.3

Combina los términos.

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Paso 12.3.1

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 12.3.1.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \ln (7) - 2 \ln (7) x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \ln (7) - 2 \ln (7) x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.3.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{x^{\frac{1 + 1}{2}} \ln (7) - 2 \ln (7) x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.3.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{2}{2}} \ln (7) - 2 \ln (7) x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.3.1.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{2}{x^{1} \ln (7) - 2 \ln (7) x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.3.2

Simplifica $x^{1} \ln (7)$ .

$\frac{2}{x \ln (7) - 2 \ln (7) x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.4

Reordena los términos.

$\frac{2}{x \ln (7) - 2 x^{\frac{1}{2}} \ln (7)}$

Paso 12.5

Factoriza $x^{\frac{1}{2}} \ln (7)$ de $x \ln (7) - 2 x^{\frac{1}{2}} \ln (7)$ .

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Paso 12.5.1

Factoriza $x^{\frac{1}{2}} \ln (7)$ de $x \ln (7)$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} \ln (7) (x^{\frac{1}{2}}) - 2 x^{\frac{1}{2}} \ln (7)}$

Paso 12.5.2

Factoriza $x^{\frac{1}{2}} \ln (7)$ de $- 2 x^{\frac{1}{2}} \ln (7)$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} \ln (7) (x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \ln (7) (- 2)}$

Paso 12.5.3

Factoriza $x^{\frac{1}{2}} \ln (7)$ de $x^{\frac{1}{2}} \ln (7) (x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \ln (7) (- 2)$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} \ln (7) (x^{\frac{1}{2}} - 2)}$