Cálculo Ejemplos

$f (x) = - \frac{4 h}{x (x + h)}$

Paso 1

Como $- \frac{4}{x}$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- \frac{4 h}{x (x + h)}$ con respecto a $h$ es $- \frac{4}{x} \frac{d}{d h} [\frac{h}{x + h}]$ .

$- \frac{4}{x} \frac{d}{d h} [\frac{h}{x + h}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d h} [\frac{f (h)}{g (h)}]$ es $\frac{g (h) \frac{d}{d h} [f (h)] - f (h) \frac{d}{d h} [g (h)]}{{g (h)}^{2}}$ donde $f (h) = h$ y $g (h) = x + h$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{(x + h) \frac{d}{d h} [h] - h \frac{d}{d h} [x + h]}{{(x + h)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{(x + h) \cdot 1 - h \frac{d}{d h} [x + h]}{{(x + h)}^{2}}$

Paso 3.2

Multiplica $x + h$ por $1$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x + h - h \frac{d}{d h} [x + h]}{{(x + h)}^{2}}$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + h$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x + h - h (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])}{{(x + h)}^{2}}$

Paso 3.4

Como $x$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $x$ con respecto a $h$ es $0$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x + h - h (0 + \frac{d}{d h} [h])}{{(x + h)}^{2}}$

Paso 3.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d h} [h]$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x + h - h \frac{d}{d h} [h]}{{(x + h)}^{2}}$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x + h - h \cdot 1}{{(x + h)}^{2}}$

Paso 3.7

Simplifica los términos.

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Paso 3.7.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x + h - h}{{(x + h)}^{2}}$

Paso 3.7.2

Resta $h$ de $h$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x + 0}{{(x + h)}^{2}}$

Paso 3.7.3

Suma $x$ y $0$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x}{{(x + h)}^{2}}$

Paso 3.7.4

Multiplica $\frac{x}{{(x + h)}^{2}}$ por $\frac{4}{x}$ .

$- \frac{x \cdot 4}{{(x + h)}^{2} x}$

Paso 3.7.5

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$- \frac{4 \cdot x}{{(x + h)}^{2} x}$

Paso 3.7.6

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.7.6.1

Cancela el factor común.

$- \frac{4 x}{{(x + h)}^{2} x}$

Paso 3.7.6.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{4}{{(x + h)}^{2}}$