Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x^{3} + 4^{2} - 20 \cdot \sqrt[4]{x} - \frac{18}{x^{3}}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la suma.

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Paso 1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3} + 16 - 20 \cdot \sqrt[4]{x} - \frac{18}{x^{3}}]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{3} + 16 - 20 \cdot \sqrt[4]{x} - \frac{18}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 20 \cdot \sqrt[4]{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 20 \cdot \sqrt[4]{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Paso 2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{3}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 20 \cdot \sqrt[4]{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 20 \cdot \sqrt[4]{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Paso 2.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 20 \cdot \sqrt[4]{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Paso 3

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$9 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [- 20 \cdot \sqrt[4]{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Paso 4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 20 \cdot \sqrt[4]{x}]$ .

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{x}$ como $x^{\frac{1}{4}}$ .

$9 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [- 20 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Paso 4.2

Como $- 20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 20 x^{\frac{1}{4}}$ con respecto a $x$ es $- 20 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$ .

$9 x^{2} + 0 - 20 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{4}$ .

$9 x^{2} + 0 - 20 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Paso 4.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$9 x^{2} + 0 - 20 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Paso 4.5

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$9 x^{2} + 0 - 20 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Paso 4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$9 x^{2} + 0 - 20 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Paso 4.7

Simplifica el numerador.

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Paso 4.7.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$9 x^{2} + 0 - 20 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Paso 4.7.2

Resta $4$ de $1$ .

$9 x^{2} + 0 - 20 (\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Paso 4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$9 x^{2} + 0 - 20 (\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Paso 4.9

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{- \frac{3}{4}}$ .

$9 x^{2} + 0 - 20 \frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Paso 4.10

Combina $- 20$ y $\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$9 x^{2} + 0 + \frac{- 20 x^{- \frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Paso 4.11

Mueve $x^{- \frac{3}{4}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 x^{2} + 0 + \frac{- 20}{4 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Paso 4.12

Factoriza $4$ de $- 20$ .

$9 x^{2} + 0 + \frac{4 \cdot - 5}{4 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Paso 4.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.13.1

Factoriza $4$ de $4 x^{\frac{3}{4}}$ .

$9 x^{2} + 0 + \frac{4 \cdot - 5}{4 (x^{\frac{3}{4}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Paso 4.13.2

Cancela el factor común.

$9 x^{2} + 0 + \frac{4 \cdot - 5}{4 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Paso 4.13.3

Reescribe la expresión.

$9 x^{2} + 0 + \frac{- 5}{x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Paso 4.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Paso 5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$ .

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Paso 5.1

Como $- 18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{18}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $- 18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} - 18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Paso 5.2

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} - 18 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Paso 5.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{3}$ .

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Paso 5.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3}$ .

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} - 18 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 5.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} - 18 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 5.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3}$ .

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} - 18 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} - 18 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Paso 5.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Paso 5.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} - 18 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Paso 5.5.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} - 18 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Paso 5.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} - 18 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Paso 5.7

Multiplica $x^{- 6}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.7.1

Mueve $x^{2}$ .

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} - 18 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Paso 5.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} - 18 (- 3 x^{2 - 6})$

Paso 5.7.3

Resta $6$ de $2$ .

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} - 18 (- 3 x^{- 4})$

Paso 5.8

Multiplica $- 3$ por $- 18$ .

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} + 54 x^{- 4}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} + 54 \frac{1}{x^{4}}$

Paso 6.2

Combina los términos.

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Paso 6.2.1

Suma $9 x^{2}$ y $0$ .

$9 x^{2} - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} + 54 \frac{1}{x^{4}}$

Paso 6.2.2

Combina $54$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$9 x^{2} - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} + \frac{54}{x^{4}}$

Paso 6.3

Reordena los términos.

$9 x^{2} + \frac{54}{x^{4}} - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}}$