Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Paso 2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Paso 2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Paso 2.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

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Paso 3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos^{3} (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ .

$- 3 \sin (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\cos (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 3 \sin (x) - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 3.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x)))$

Paso 3.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 \sin (x) - (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Paso 3.5

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$- 3 \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin (x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reordena los términos.

$3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$

Paso 4.2

Factoriza $3 \sin (x)$ de $3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $3 \sin (x)$ de $3 \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Paso 4.2.2

Factoriza $3 \sin (x)$ de $- 3 \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$

Paso 4.2.3

Factoriza $3 \sin (x)$ de $3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$ .

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x) - 1)$

Paso 4.3

Reordena $\cos^{2} (x)$ y $- 1$ .

$3 \sin (x) (- 1 + \cos^{2} (x))$

Paso 4.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$3 \sin (x) (- 1 (1) + \cos^{2} (x))$

Paso 4.5

Factoriza $- 1$ de $\cos^{2} (x)$ .

$3 \sin (x) (- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)))$

Paso 4.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$3 \sin (x) (- 1 (1 - \cos^{2} (x)))$

Paso 4.7

Reescribe $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ como $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$3 \sin (x) (- (1 - \cos^{2} (x)))$

Paso 4.8

Aplica la identidad pitagórica.

$3 \sin (x) (- \sin^{2} (x))$

Paso 4.9

Multiplica $\sin (x)$ por $\sin^{2} (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 4.9.1

Mueve $\sin^{2} (x)$ .

$3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1$

Paso 4.9.2

Multiplica $\sin^{2} (x)$ por $\sin (x)$ .

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Paso 4.9.2.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$3 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cdot - 1$

Paso 4.9.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1$

Paso 4.9.3

Suma $2$ y $1$ .

$3 \sin^{3} (x) \cdot - 1$

Paso 4.10

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 \sin^{3} (x)$