Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 \tan (\sqrt{3 x})$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 x}$ como ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 \tan ({(3 x)}^{\frac{1}{2}})]$

Paso 1.2

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.2.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 \tan ({(3 (x))}^{\frac{1}{2}})]$

Paso 1.2.2

Aplica la regla del producto a $3 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 \tan (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Paso 1.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \tan (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\tan (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\tan (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$3 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3

Como $3^{\frac{1}{2}}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{1} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3^{\frac{1}{2} + 1} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 6

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$3^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 6.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3^{\frac{1 + 2}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 6.3

Suma $1$ y $2$ .

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 8

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 9

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 11

Simplifica el numerador.

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Paso 11.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 11.2

Resta $2$ de $1$ .

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 13

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 14

Combina $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $3^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{2} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Paso 15

Combina $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{2}$ y $\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Paso 16

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$