Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 \sin (x) - 4 \cos (x) + 3 e^{x} - 5 \ln (x)$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 \sin (x) - 4 \cos (x) + 3 e^{x} - 5 \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (x)]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$ .

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Paso 2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (x)]$

Paso 2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$3 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (x)]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 \cos (x)]$ .

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Paso 3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 \cos (x) - 4 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (x)]$

Paso 3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$3 \cos (x) - 4 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (x)]$

Paso 3.3

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$3 \cos (x) + 4 \sin (x) + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (x)]$

Paso 4

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

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Paso 4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 e^{x}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$3 \cos (x) + 4 \sin (x) + 3 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (x)]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$3 \cos (x) + 4 \sin (x) + 3 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (x)]$

Paso 5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 \ln (x)]$ .

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Paso 5.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 \ln (x)$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$3 \cos (x) + 4 \sin (x) + 3 e^{x} - 5 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 5.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$3 \cos (x) + 4 \sin (x) + 3 e^{x} - 5 \frac{1}{x}$

Paso 5.3

Combina $- 5$ y $\frac{1}{x}$ .

$3 \cos (x) + 4 \sin (x) + 3 e^{x} + \frac{- 5}{x}$

Paso 5.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 \cos (x) + 4 \sin (x) + 3 e^{x} - \frac{5}{x}$

Paso 6

Reordena los términos.

$- \frac{5}{x} + 3 e^{x} + 3 \cos (x) + 4 \sin (x)$