Cálculo Ejemplos

$f (x) = 32000 + 2033 \sqrt{x} - \frac{1}{8 x^{2}}$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $32000 + 2033 \sqrt{x} - \frac{1}{8 x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [32000] + \frac{d}{d x} [2033 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{8 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [32000] + \frac{d}{d x} [2033 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{8 x^{2}}]$

Paso 1.2

Como $32000$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $32000$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2033 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{8 x^{2}}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2033 \sqrt{x}]$ .

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2033 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{8 x^{2}}]$

Paso 2.2

Como $2033$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2033 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2033 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$0 + 2033 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{8 x^{2}}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + 2033 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{8 x^{2}}]$

Paso 2.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$0 + 2033 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{8 x^{2}}]$

Paso 2.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$0 + 2033 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{8 x^{2}}]$

Paso 2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$0 + 2033 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{8 x^{2}}]$

Paso 2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$0 + 2033 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{8 x^{2}}]$

Paso 2.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$0 + 2033 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{8 x^{2}}]$

Paso 2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 + 2033 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{8 x^{2}}]$

Paso 2.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 + 2033 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{8 x^{2}}]$

Paso 2.10

Combina $2033$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$0 + \frac{2033 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{8 x^{2}}]$

Paso 2.11

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{2033}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{8 x^{2}}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{8 x^{2}}]$ .

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Paso 3.1

Como $- \frac{1}{8}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{8 x^{2}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$0 + \frac{2033}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$0 + \frac{2033}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$0 + \frac{2033}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{8} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$0 + \frac{2033}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{8} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$0 + \frac{2033}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{8} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + \frac{2033}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{8} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Paso 3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + \frac{2033}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{8} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Paso 3.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$0 + \frac{2033}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{8} (- x^{- 4} (2 x))$

Paso 3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 + \frac{2033}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{8} (- 2 x^{- 4} x)$

Paso 3.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$0 + \frac{2033}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{8} (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Paso 3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$0 + \frac{2033}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{8} (- 2 x^{1 - 4})$

Paso 3.9

Resta $4$ de $1$ .

$0 + \frac{2033}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{8} (- 2 x^{- 3})$

Paso 3.10

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$0 + \frac{2033}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{8}) x^{- 3}$

Paso 3.11

Combina $2$ y $\frac{1}{8}$ .

$0 + \frac{2033}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{8} x^{- 3}$

Paso 3.12

Combina $\frac{2}{8}$ y $x^{- 3}$ .

$0 + \frac{2033}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x^{- 3}}{8}$

Paso 3.13

Mueve $x^{- 3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{2033}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{8 x^{3}}$

Paso 3.14

Cancela el factor común de $2$ y $8$ .

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Paso 3.14.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$0 + \frac{2033}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (1)}{8 x^{3}}$

Paso 3.14.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.14.2.1

Factoriza $2$ de $8 x^{3}$ .

$0 + \frac{2033}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (1)}{2 (4 x^{3})}$

Paso 3.14.2.2

Cancela el factor común.

$0 + \frac{2033}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 \cdot 1}{2 (4 x^{3})}$

Paso 3.14.2.3

Reescribe la expresión.

$0 + \frac{2033}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4 x^{3}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Suma $0$ y $\frac{2033}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2033}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4 x^{3}}$

Paso 4.2

Reordena los términos.

$\frac{1}{4 x^{3}} + \frac{2033}{2 x^{\frac{1}{2}}}$