Cálculo Ejemplos

$f (x) = 30 {(65 + 5 t)}^{2} - 1300 t$

Paso 1

Reescribe ${(65 + 5 t)}^{2}$ como $(65 + 5 t) (65 + 5 t)$ .

$\frac{d}{d t} [30 ((65 + 5 t) (65 + 5 t)) - 1300 t]$

Paso 2

Expande $(65 + 5 t) (65 + 5 t)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d t} [30 (65 (65 + 5 t) + 5 t (65 + 5 t)) - 1300 t]$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d t} [30 (65 \cdot 65 + 65 (5 t) + 5 t (65 + 5 t)) - 1300 t]$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d t} [30 (65 \cdot 65 + 65 (5 t) + 5 t \cdot 65 + 5 t (5 t)) - 1300 t]$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $65$ por $65$ .

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 65 (5 t) + 5 t \cdot 65 + 5 t (5 t)) - 1300 t]$

Paso 3.1.2

Multiplica $5$ por $65$ .

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 325 t + 5 t \cdot 65 + 5 t (5 t)) - 1300 t]$

Paso 3.1.3

Multiplica $65$ por $5$ .

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 325 t + 325 t + 5 t (5 t)) - 1300 t]$

Paso 3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 325 t + 325 t + 5 \cdot 5 t \cdot t) - 1300 t]$

Paso 3.1.5

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.5.1

Mueve $t$ .

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 325 t + 325 t + 5 \cdot 5 (t \cdot t)) - 1300 t]$

Paso 3.1.5.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 325 t + 325 t + 5 \cdot 5 t^{2}) - 1300 t]$

Paso 3.1.6

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 325 t + 325 t + 25 t^{2}) - 1300 t]$

Paso 3.2

Suma $325 t$ y $325 t$ .

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 650 t + 25 t^{2}) - 1300 t]$

Paso 4

Según la regla de la suma, la derivada de $30 (4225 + 650 t + 25 t^{2}) - 1300 t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [30 (4225 + 650 t + 25 t^{2})] + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$ .

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 650 t + 25 t^{2})] + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Paso 5

Evalúa $\frac{d}{d t} [30 (4225 + 650 t + 25 t^{2})]$ .

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Paso 5.1

Como $30$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $30 (4225 + 650 t + 25 t^{2})$ con respecto a $t$ es $30 \frac{d}{d t} [4225 + 650 t + 25 t^{2}]$ .

$30 \frac{d}{d t} [4225 + 650 t + 25 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Paso 5.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4225 + 650 t + 25 t^{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [4225] + \frac{d}{d t} [650 t] + \frac{d}{d t} [25 t^{2}]$ .

$30 (\frac{d}{d t} [4225] + \frac{d}{d t} [650 t] + \frac{d}{d t} [25 t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Paso 5.3

Como $4225$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $4225$ con respecto a $t$ es $0$ .

$30 (0 + \frac{d}{d t} [650 t] + \frac{d}{d t} [25 t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Paso 5.4

Como $650$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $650 t$ con respecto a $t$ es $650 \frac{d}{d t} [t]$ .

$30 (0 + 650 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25 t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Paso 5.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$30 (0 + 650 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25 t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Paso 5.6

Como $25$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $25 t^{2}$ con respecto a $t$ es $25 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$30 (0 + 650 \cdot 1 + 25 \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Paso 5.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$30 (0 + 650 \cdot 1 + 25 (2 t)) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Paso 5.8

Multiplica $650$ por $1$ .

$30 (0 + 650 + 25 (2 t)) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Paso 5.9

Suma $0$ y $650$ .

$30 (650 + 25 (2 t)) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Paso 5.10

Multiplica $2$ por $25$ .

$30 (650 + 50 t) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Paso 6

Evalúa $\frac{d}{d t} [- 1300 t]$ .

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Paso 6.1

Como $- 1300$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 1300 t$ con respecto a $t$ es $- 1300 \frac{d}{d t} [t]$ .

$30 (650 + 50 t) - 1300 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$30 (650 + 50 t) - 1300 \cdot 1$

Paso 6.3

Multiplica $- 1300$ por $1$ .

$30 (650 + 50 t) - 1300$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$30 \cdot 650 + 30 (50 t) - 1300$

Paso 7.2

Combina los términos.

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Paso 7.2.1

Multiplica $30$ por $650$ .

$19500 + 30 (50 t) - 1300$

Paso 7.2.2

Multiplica $50$ por $30$ .

$19500 + 1500 t - 1300$

Paso 7.2.3

Resta $1300$ de $19500$ .

$1500 t + 18200$