Cálculo Ejemplos

$h (x) = \cos (\sin (5 x^{3})) - \tan^{3} (x^{2})$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\cos (\sin (5 x^{3})) - \tan^{3} (x^{2})$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\cos (\sin (5 x^{3}))] + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (\sin (5 x^{3}))] + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\cos (\sin (5 x^{3}))]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \sin (5 x^{3})$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sin (5 x^{3})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (5 x^{3})] + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [\sin (5 x^{3})] + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sin (5 x^{3})$ .

$- \sin (\sin (5 x^{3})) \frac{d}{d x} [\sin (5 x^{3})] + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 5 x^{3}$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $5 x^{3}$ .

$- \sin (\sin (5 x^{3})) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

Paso 2.2.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$- \sin (\sin (5 x^{3})) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $5 x^{3}$ .

$- \sin (\sin (5 x^{3})) (\cos (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

Paso 2.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{3}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \sin (\sin (5 x^{3})) (\cos (5 x^{3}) (5 \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- \sin (\sin (5 x^{3})) (\cos (5 x^{3}) (5 (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

Paso 2.5

Multiplica $3$ por $5$ .

$- \sin (\sin (5 x^{3})) (\cos (5 x^{3}) (15 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

Paso 2.6

Multiplica $15$ por $- 1$ .

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$ .

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Paso 3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \tan^{3} (x^{2})$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x^{2})]$ .

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} - \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x^{2})]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \tan (x^{2})$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $\tan (x^{2})$ .

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} - (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (x^{2})])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ es $n {u_{3}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} - (3 {u_{3}}^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x^{2})])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $\tan (x^{2})$ .

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} - (3 \tan^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [\tan (x^{2})])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{4}$ como $x^{2}$ .

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} - (3 \tan^{2} (x^{2}) (\frac{d}{d u_{4}} [\tan (u_{4})] \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Paso 3.3.2

La derivada de $\tan (u_{4})$ con respecto a $u_{4}$ es $\sec^{2} (u_{4})$ .

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} - (3 \tan^{2} (x^{2}) (\sec^{2} (u_{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{4}$ con $x^{2}$ .

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} - (3 \tan^{2} (x^{2}) (\sec^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} - (3 \tan^{2} (x^{2}) (\sec^{2} (x^{2}) (2 x)))$

Paso 3.5

Multiplica $2$ por $3$ .

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} - (6 \tan^{2} (x^{2}) (\sec^{2} (x^{2}) (x)))$

Paso 3.6

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} - 6 \tan^{2} (x^{2}) \sec^{2} (x^{2}) x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reordena los términos.

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - 6 x \sec^{2} (x^{2}) \tan^{2} (x^{2})$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Reescribe $\sec (x^{2})$ en términos de senos y cosenos.

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - 6 x {(\frac{1}{\cos (x^{2})})}^{2} \tan^{2} (x^{2})$

Paso 4.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - 6 x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x^{2})} \tan^{2} (x^{2})$

Paso 4.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - 6 x \frac{1}{\cos^{2} (x^{2})} \tan^{2} (x^{2})$

Paso 4.2.4

Multiplica $- 6 x \frac{1}{\cos^{2} (x^{2})}$ .

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Paso 4.2.4.1

Combina $- 6$ y $\frac{1}{\cos^{2} (x^{2})}$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) + x \frac{- 6}{\cos^{2} (x^{2})} \tan^{2} (x^{2})$

Paso 4.2.4.2

Combina $x$ y $\frac{- 6}{\cos^{2} (x^{2})}$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) + \frac{x \cdot - 6}{\cos^{2} (x^{2})} \tan^{2} (x^{2})$

Paso 4.2.5

Mueve $- 6$ a la izquierda de $x$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) + \frac{- 6 \cdot x}{\cos^{2} (x^{2})} \tan^{2} (x^{2})$

Paso 4.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{6 \cdot x}{\cos^{2} (x^{2})} \tan^{2} (x^{2})$

Paso 4.2.7

Reescribe $\tan (x^{2})$ en términos de senos y cosenos.

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{6 x}{\cos^{2} (x^{2})} {(\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})})}^{2}$

Paso 4.2.8

Aplica la regla del producto a $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{6 x}{\cos^{2} (x^{2})} \cdot \frac{\sin^{2} (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})}$

Paso 4.2.9

Multiplica $- \frac{6 x}{\cos^{2} (x^{2})} \cdot \frac{\sin^{2} (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})}$ .

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Paso 4.2.9.1

Multiplica $\frac{\sin^{2} (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})}$ por $\frac{6 x}{\cos^{2} (x^{2})}$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{\sin^{2} (x^{2}) (6 x)}{\cos^{2} (x^{2}) \cos^{2} (x^{2})}$

Paso 4.2.9.2

Multiplica $\cos^{2} (x^{2})$ por $\cos^{2} (x^{2})$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.9.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{\sin^{2} (x^{2}) (6 x)}{{\cos (x^{2})}^{2 + 2}}$

Paso 4.2.9.2.2

Suma $2$ y $2$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{\sin^{2} (x^{2}) (6 x)}{\cos^{4} (x^{2})}$

Paso 4.2.10

Mueve $6$ a la izquierda de $\sin^{2} (x^{2})$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{6 \sin^{2} (x^{2}) x}{\cos^{4} (x^{2})}$

Paso 4.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1

Multiplica por $1$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{6 (\sin^{2} (x^{2}) \cdot 1) x}{\cos^{4} (x^{2})}$

Paso 4.3.2

Factoriza $\cos^{2} (x^{2})$ de $\cos^{4} (x^{2})$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{6 (\sin^{2} (x^{2}) \cdot 1) x}{\cos^{2} (x^{2}) \cos^{2} (x^{2})}$

Paso 4.3.3

Separa las fracciones.

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - (\frac{6 \cdot (1) x}{\cos^{2} (x^{2})} \cdot \frac{\sin^{2} (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})})$

Paso 4.3.4

Convierte de $\frac{\sin^{2} (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})}$ a $\tan^{2} (x^{2})$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - (\frac{6 \cdot (1) x}{\cos^{2} (x^{2})} \tan^{2} (x^{2}))$

Paso 4.3.5

Multiplica $6$ por $1$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - (\frac{6 x}{\cos^{2} (x^{2})} \tan^{2} (x^{2}))$

Paso 4.3.6

Combina $\frac{6 x}{\cos^{2} (x^{2})}$ y $\tan^{2} (x^{2})$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{6 x \tan^{2} (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})}$

Paso 4.3.7

Multiplica por $1$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{6 x \tan^{2} (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2}) \cdot 1}$

Paso 4.3.8

Separa las fracciones.

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - (\frac{6 x}{1} \cdot \frac{\tan^{2} (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})})$

Paso 4.3.9

Convierte de $\frac{1}{\cos^{2} (x^{2})}$ a $\sec^{2} (x^{2})$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - (\frac{6 x}{1} (\tan^{2} (x^{2}) \sec^{2} (x^{2})))$

Paso 4.3.10

Divide $6 x$ por $1$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - (6 x (\tan^{2} (x^{2}) \sec^{2} (x^{2})))$

Paso 4.3.11

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - 6 x (\tan^{2} (x^{2}) \sec^{2} (x^{2}))$

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - 6 x \tan^{2} (x^{2}) \sec^{2} (x^{2})$