Cálculo Ejemplos

$h (t) = \frac{1 + t}{{(2 t^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = 1 + t$ y $g (t) = {(2 t^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{{(2 t^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} [1 + t] - (1 + t) \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} + 1)}^{2}]}{{({(2 t^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Multiplica los exponentes en ${({(2 t^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 t^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} [1 + t] - (1 + t) \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} + 1)}^{2}]}{{(2 t^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{{(2 t^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} [1 + t] - (1 + t) \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} + 1)}^{2}]}{{(2 t^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{{(2 t^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]) - (1 + t) \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} + 1)}^{2}]}{{(2 t^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.3

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{{(2 t^{2} + 1)}^{2} (0 + \frac{d}{d t} [t]) - (1 + t) \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} + 1)}^{2}]}{{(2 t^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{{(2 t^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - (1 + t) \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} + 1)}^{2}]}{{(2 t^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{{(2 t^{2} + 1)}^{2} \cdot 1 - (1 + t) \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} + 1)}^{2}]}{{(2 t^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.6

Multiplica ${(2 t^{2} + 1)}^{2}$ por $1$ .

$\frac{{(2 t^{2} + 1)}^{2} - (1 + t) \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} + 1)}^{2}]}{{(2 t^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = 2 t^{2} + 1$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 t^{2} + 1$ .

$\frac{{(2 t^{2} + 1)}^{2} - (1 + t) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 1])}{{(2 t^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{{(2 t^{2} + 1)}^{2} - (1 + t) (2 u \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 1])}{{(2 t^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 t^{2} + 1$ .

$\frac{{(2 t^{2} + 1)}^{2} - (1 + t) (2 (2 t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 1])}{{(2 t^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 4

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{{(2 t^{2} + 1)}^{2} - 2 (1 + t) ((2 t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 1])}{{(2 t^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 4.2

Factoriza $2 t^{2} + 1$ de ${(2 t^{2} + 1)}^{2} - 2 (1 + t) ((2 t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 1])$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $2 t^{2} + 1$ de ${(2 t^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{(2 t^{2} + 1) (2 t^{2} + 1) - 2 (1 + t) ((2 t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 1])}{{(2 t^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 4.2.2

Factoriza $2 t^{2} + 1$ de $- 2 (1 + t) ((2 t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 1])$ .

$\frac{(2 t^{2} + 1) (2 t^{2} + 1) + (2 t^{2} + 1) (- 2 (1 + t) (\frac{d}{d t} [2 t^{2} + 1]))}{{(2 t^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 4.2.3

Factoriza $2 t^{2} + 1$ de $(2 t^{2} + 1) (2 t^{2} + 1) + (2 t^{2} + 1) (- 2 (1 + t) (\frac{d}{d t} [2 t^{2} + 1]))$ .

$\frac{(2 t^{2} + 1) (2 t^{2} + 1 - 2 (1 + t) (\frac{d}{d t} [2 t^{2} + 1]))}{{(2 t^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 5

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1

Factoriza $2 t^{2} + 1$ de ${(2 t^{2} + 1)}^{4}$ .

$\frac{(2 t^{2} + 1) (2 t^{2} + 1 - 2 (1 + t) (\frac{d}{d t} [2 t^{2} + 1]))}{(2 t^{2} + 1) {(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 5.2

Cancela el factor común.

$\frac{(2 t^{2} + 1) (2 t^{2} + 1 - 2 (1 + t) (\frac{d}{d t} [2 t^{2} + 1]))}{(2 t^{2} + 1) {(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 t^{2} + 1 - 2 (1 + t) (\frac{d}{d t} [2 t^{2} + 1])}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 6

Según la regla de la suma, la derivada de $2 t^{2} + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{2 t^{2} + 1 - 2 (1 + t) (\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 7

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t^{2}$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{2 t^{2} + 1 - 2 (1 + t) (2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2 t^{2} + 1 - 2 (1 + t) (2 (2 t) + \frac{d}{d t} [1])}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 9

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{2 t^{2} + 1 - 2 (1 + t) (4 t + \frac{d}{d t} [1])}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 10

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{2 t^{2} + 1 - 2 (1 + t) (4 t + 0)}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 11

Simplifica la expresión.

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Paso 11.1

Suma $4 t$ y $0$ .

$\frac{2 t^{2} + 1 - 2 (1 + t) (4 t)}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 11.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$\frac{2 t^{2} + 1 - 8 (1 + t) t}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 t^{2} + 1 + (- 8 \cdot 1 - 8 t) t}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 t^{2} + 1 - 8 \cdot 1 t - 8 t \cdot t}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 12.3

Simplifica el numerador.

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Paso 12.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.3.1.1

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$\frac{2 t^{2} + 1 - 8 t - 8 t \cdot t}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 12.3.1.2

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 12.3.1.2.1

Mueve $t$ .

$\frac{2 t^{2} + 1 - 8 t - 8 (t \cdot t)}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 12.3.1.2.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$\frac{2 t^{2} + 1 - 8 t - 8 t^{2}}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 12.3.2

Resta $8 t^{2}$ de $2 t^{2}$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 1 - 8 t}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 12.4

Reordena los términos.

$\frac{- 6 t^{2} - 8 t + 1}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 12.5

Factoriza $- 1$ de $- 6 t^{2}$ .

$\frac{- (6 t^{2}) - 8 t + 1}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 12.6

Factoriza $- 1$ de $- 8 t$ .

$\frac{- (6 t^{2}) - (8 t) + 1}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 12.7

Factoriza $- 1$ de $- (6 t^{2}) - (8 t)$ .

$\frac{- (6 t^{2} + 8 t) + 1}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 12.8

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (6 t^{2} + 8 t) - 1 (- 1)}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 12.9

Factoriza $- 1$ de $- (6 t^{2} + 8 t) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (6 t^{2} + 8 t - 1)}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 12.10

Reescribe $- (6 t^{2} + 8 t - 1)$ como $- 1 (6 t^{2} + 8 t - 1)$ .

$\frac{- 1 (6 t^{2} + 8 t - 1)}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 12.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{6 t^{2} + 8 t - 1}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$