Cálculo Ejemplos

$h (t) = {(6 t^{2} - 5 t)}^{- 3}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{- 3}$ y $g (t) = 6 t^{2} - 5 t$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $6 t^{2} - 5 t$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d t} [6 t^{2} - 5 t]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$- 3 u^{- 4} \frac{d}{d t} [6 t^{2} - 5 t]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 t^{2} - 5 t$ .

$- 3 {(6 t^{2} - 5 t)}^{- 4} \frac{d}{d t} [6 t^{2} - 5 t]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 t^{2} - 5 t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5 t]$ .

$- 3 {(6 t^{2} - 5 t)}^{- 4} (\frac{d}{d t} [6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5 t])$

Paso 2.2

Como $6$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $6 t^{2}$ con respecto a $t$ es $6 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$- 3 {(6 t^{2} - 5 t)}^{- 4} (6 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5 t])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 3 {(6 t^{2} - 5 t)}^{- 4} (6 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 5 t])$

Paso 2.4

Multiplica $2$ por $6$ .

$- 3 {(6 t^{2} - 5 t)}^{- 4} (12 t + \frac{d}{d t} [- 5 t])$

Paso 2.5

Como $- 5$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 5 t$ con respecto a $t$ es $- 5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 3 {(6 t^{2} - 5 t)}^{- 4} (12 t - 5 \frac{d}{d t} [t])$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 3 {(6 t^{2} - 5 t)}^{- 4} (12 t - 5 \cdot 1)$

Paso 2.7

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$- 3 {(6 t^{2} - 5 t)}^{- 4} (12 t - 5)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{{(6 t^{2} - 5 t)}^{4}} (12 t - 5)$

Paso 3.2

Combina los términos.

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Paso 3.2.1

Combina $- 3$ y $\frac{1}{{(6 t^{2} - 5 t)}^{4}}$ .

$\frac{- 3}{{(6 t^{2} - 5 t)}^{4}} (12 t - 5)$

Paso 3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{{(6 t^{2} - 5 t)}^{4}} (12 t - 5)$

Paso 3.3

Reordena los factores de $- \frac{3}{{(6 t^{2} - 5 t)}^{4}} (12 t - 5)$ .

$- (12 t - 5) \frac{3}{{(6 t^{2} - 5 t)}^{4}}$

Paso 3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$(- (12 t) - - 5) \frac{3}{{(6 t^{2} - 5 t)}^{4}}$

Paso 3.5

Multiplica $12$ por $- 1$ .

$(- 12 t - - 5) \frac{3}{{(6 t^{2} - 5 t)}^{4}}$

Paso 3.6

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$(- 12 t + 5) \frac{3}{{(6 t^{2} - 5 t)}^{4}}$

Paso 3.7

Simplifica el denominador.

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Paso 3.7.1

Factoriza $t$ de $6 t^{2} - 5 t$ .

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Paso 3.7.1.1

Factoriza $t$ de $6 t^{2}$ .

$(- 12 t + 5) \frac{3}{{(t (6 t) - 5 t)}^{4}}$

Paso 3.7.1.2

Factoriza $t$ de $- 5 t$ .

$(- 12 t + 5) \frac{3}{{(t (6 t) + t \cdot - 5)}^{4}}$

Paso 3.7.1.3

Factoriza $t$ de $t (6 t) + t \cdot - 5$ .

$(- 12 t + 5) \frac{3}{{(t (6 t - 5))}^{4}}$

Paso 3.7.2

Aplica la regla del producto a $t (6 t - 5)$ .

$(- 12 t + 5) \frac{3}{t^{4} {(6 t - 5)}^{4}}$

Paso 3.8

Multiplica $- 12 t + 5$ por $\frac{3}{t^{4} {(6 t - 5)}^{4}}$ .

$\frac{(- 12 t + 5) \cdot 3}{t^{4} {(6 t - 5)}^{4}}$

Paso 3.9

Mueve $3$ a la izquierda de $- 12 t + 5$ .

$\frac{3 \cdot (- 12 t + 5)}{t^{4} {(6 t - 5)}^{4}}$

Paso 3.10

Factoriza $- 1$ de $- 12 t$ .

$\frac{3 (- (12 t) + 5)}{t^{4} {(6 t - 5)}^{4}}$

Paso 3.11

Reescribe $5$ como $- 1 (- 5)$ .

$\frac{3 (- (12 t) - 1 (- 5))}{t^{4} {(6 t - 5)}^{4}}$

Paso 3.12

Factoriza $- 1$ de $- (12 t) - 1 (- 5)$ .

$\frac{3 (- (12 t - 5))}{t^{4} {(6 t - 5)}^{4}}$

Paso 3.13

Reescribe $- (12 t - 5)$ como $- 1 (12 t - 5)$ .

$\frac{3 (- 1 (12 t - 5))}{t^{4} {(6 t - 5)}^{4}}$

Paso 3.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 (12 t - 5)}{t^{4} {(6 t - 5)}^{4}}$