Cálculo Ejemplos

$h (t) = \frac{t^{9} - 7 t^{3} + 6 t^{2}}{6 t^{2}}$

Paso 1

Como $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{t^{9} - 7 t^{3} + 6 t^{2}}{6 t^{2}}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{6} \frac{d}{d t} [\frac{t^{9} - 7 t^{3} + 6 t^{2}}{t^{2}}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d t} [\frac{t^{9} - 7 t^{3} + 6 t^{2}}{t^{2}}]$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Factoriza $t^{2}$ de $t^{9} - 7 t^{3} + 6 t^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $t^{2}$ de $t^{9}$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} t^{7} - 7 t^{3} + 6 t^{2}}{t^{2}}]$

Paso 2.1.2

Factoriza $t^{2}$ de $- 7 t^{3}$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} t^{7} + t^{2} (- 7 t) + 6 t^{2}}{t^{2}}]$

Paso 2.1.3

Factoriza $t^{2}$ de $6 t^{2}$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} t^{7} + t^{2} (- 7 t) + t^{2} \cdot 6}{t^{2}}]$

Paso 2.1.4

Factoriza $t^{2}$ de $t^{2} t^{7} + t^{2} (- 7 t)$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} (t^{7} - 7 t) + t^{2} \cdot 6}{t^{2}}]$

Paso 2.1.5

Factoriza $t^{2}$ de $t^{2} (t^{7} - 7 t) + t^{2} \cdot 6$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} (t^{7} - 7 t + 6)}{t^{2}}]$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $t^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{6} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} (t^{7} - 7 t + 6)}{t^{2}}]$

Paso 2.2.2

Divide $t^{7} - 7 t + 6$ por $1$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d t} [t^{7} - 7 t + 6]$

Paso 3

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{7} - 7 t + 6$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{7}] + \frac{d}{d t} [- 7 t] + \frac{d}{d t} [6]$ .

$\frac{1}{6} (\frac{d}{d t} [t^{7}] + \frac{d}{d t} [- 7 t] + \frac{d}{d t} [6])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$\frac{1}{6} (7 t^{6} + \frac{d}{d t} [- 7 t] + \frac{d}{d t} [6])$

Paso 5

Como $- 7$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 7 t$ con respecto a $t$ es $- 7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{6} (7 t^{6} - 7 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [6])$

Paso 6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{6} (7 t^{6} - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [6])$

Paso 7

Multiplica $- 7$ por $1$ .

$\frac{1}{6} (7 t^{6} - 7 + \frac{d}{d t} [6])$

Paso 8

Como $6$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $6$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{1}{6} (7 t^{6} - 7 + 0)$

Paso 9

Suma $7 t^{6} - 7$ y $0$ .

$\frac{1}{6} (7 t^{6} - 7)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{6} (7 t^{6}) + \frac{1}{6} \cdot - 7$

Paso 10.2

Combina los términos.

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Paso 10.2.1

Combina $7$ y $\frac{1}{6}$ .

$\frac{7}{6} t^{6} + \frac{1}{6} \cdot - 7$

Paso 10.2.2

Combina $\frac{7}{6}$ y $t^{6}$ .

$\frac{7 t^{6}}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 7$

Paso 10.2.3

Combina $\frac{1}{6}$ y $- 7$ .

$\frac{7 t^{6}}{6} + \frac{- 7}{6}$

Paso 10.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{7 t^{6}}{6} - \frac{7}{6}$