Cálculo Ejemplos

$H (t) = 100 \ln (3 + 2 x - e^{3 x})$

Paso 1

Como $100$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $100 \ln (3 + 2 x - e^{3 x})$ con respecto a $x$ es $100 \frac{d}{d x} [\ln (3 + 2 x - e^{3 x})]$ .

$100 \frac{d}{d x} [\ln (3 + 2 x - e^{3 x})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 3 + 2 x - e^{3 x}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $3 + 2 x - e^{3 x}$ .

$100 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 + 2 x - e^{3 x}])$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$100 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - e^{3 x}])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 + 2 x - e^{3 x}$ .

$100 (\frac{1}{3 + 2 x - e^{3 x}} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - e^{3 x}])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{3 + 2 x - e^{3 x}}$ y $100$ .

$\frac{100}{3 + 2 x - e^{3 x}} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - e^{3 x}]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 + 2 x - e^{3 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$ .

$\frac{100}{3 + 2 x - e^{3 x}} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}])$

Paso 3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{100}{3 + 2 x - e^{3 x}} (0 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}])$

Paso 3.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{100}{3 + 2 x - e^{3 x}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}])$

Paso 3.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{100}{3 + 2 x - e^{3 x}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}])$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{100}{3 + 2 x - e^{3 x}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}])$

Paso 3.7

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{100}{3 + 2 x - e^{3 x}} (2 + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}])$

Paso 3.8

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{3 x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$\frac{100}{3 + 2 x - e^{3 x}} (2 - \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x$ .

$\frac{100}{3 + 2 x - e^{3 x}} (2 - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x]))$

Paso 4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{100}{3 + 2 x - e^{3 x}} (2 - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x]))$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x$ .

$\frac{100}{3 + 2 x - e^{3 x}} (2 - (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]))$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{100}{3 + 2 x - e^{3 x}} (2 - e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 5.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{100}{3 + 2 x - e^{3 x}} (2 - 3 e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{100}{3 + 2 x - e^{3 x}} (2 - 3 e^{3 x} \cdot 1)$

Paso 5.4

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{100}{3 + 2 x - e^{3 x}} (2 - 3 e^{3 x})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reordena los factores de $\frac{100}{3 + 2 x - e^{3 x}} (2 - 3 e^{3 x})$ .

$(2 - 3 e^{3 x}) \frac{100}{3 + 2 x - e^{3 x}}$

Paso 6.2

Reordena los términos.

$(2 - 3 e^{3 x}) \frac{100}{2 x + 3 - e^{3 x}}$

Paso 6.3

Multiplica $2 - 3 e^{3 x}$ por $\frac{100}{2 x + 3 - e^{3 x}}$ .

$\frac{(2 - 3 e^{3 x}) \cdot 100}{2 x + 3 - e^{3 x}}$

Paso 6.4

Mueve $100$ a la izquierda de $2 - 3 e^{3 x}$ .

$\frac{100 (2 - 3 e^{3 x})}{2 x + 3 - e^{3 x}}$